varför / hur är $PV = k$ sant i en idealisk gas?

det finns förmodligen flera sätt att närma sig detta, men jag tror att ett trevligt enkelt sätt är att överväga den mikroskopiska mekanismen som producerar tryck.

Föreställ dig en sfärisk behållare med någon radie $r$ med bara en gaspartikel i den. Vår gaspartikel har en massa $m$ och en hastighet $v$.

 Tryck

när gaspartikeln träffar kärlens väggar och studsar tillbaka utövar den en kraft på kärlens väggar. Det här är precis detsamma som om jag kastar ett tungt föremål på dig så att objektet utövar en kraft på dig när det träffar dig. För att beräkna denna kraft måste du veta att kraften är densamma som förändringshastigheten.

vid varje kollision ändras partikelhastigheten från $v$ till $-v$, så momentum ändras från $mv$ till $-MV$, så momentumförändringen är $\Delta p = 2mV$.

den tid partikeln tar för att korsa sfären är $\tau = 2r/v$, så antalet kollisioner per sekund är $f = 1/\tau = v/2r$.

och hastigheten iof förändring av momentum, dvs. kraften ’ är bara momentumförändringen per kollision $ \ Delta p$ gånger antalet kollisioner per sekund $f$:

$$ F = \ Delta p f = 2mV \ frac{v}{2r} = \ frac{mv^2}{r} $ $

och slutligen är trycket kraft per ytenhet och sfärens yta är $4 \ pi r^2$, Så vi slutar med ekvationen för trycket:

$$ P = \ frac{F}{A} = \ frac{MV^2}{4 \ pi r^3} \ Tag{1} $$

nu frågade du hur är trycket omvänt proportionellt mot volymen? Väl volymen av en sfär är:

$ $ V = \ tfrac{4}{3} \ pi r^3 $$

och vi kan ersätta detta i vår ekvation (1) för att få:

$$ P = \ frac{F}{A} = \frac{MV^2}{3V} \ tag{2} $$

så vi finner att $P \ propto 1 / V$.

om du är intresserad kan vi göra bättre än detta eftersom energiutjämningen berättar att partikelns kinetiska energi vid en temperatur $T$ kommer att vara ungefär $\tfrac{3}{2}kT$. Så vi får:

$$ \tfrac{1}{2}MV^2 = \tfrac{3}{2}kt $ $

och vi kan använda denna ersättning för $MV^2$ i ekvation (2) för att få:

$ $ P = \ frac{kt}{v} \ tagg{3} $$

så vi har också Guy-Lussacs lag $p \ propto t$.

och det finns ett sista steg. Allt detta var för bara en partikel. Om vi har en mol gas så är det$ N_a $ partiklar, där $N_a$ är Avagadros nummer. Varje partikel bidrar med samma momentumförändring, så den totala kraften från alla dessa partiklar är bara:

$$ P = \ frac{n_a kT}{V} $ $

och produkten $N_a k$ är bara den perfekta gaskonstanten $R$ så vår slutliga ekvation är bara den:

$$ P = \ frac{RT}{v} $ $

som du omedelbart bör känna igen som den ideala gaslagen.

nu har jag spelat en ganska snabb och lös med denna härledning och där alla möjliga invändningar. Till exempel har gasmolekylerna en rad hastigheter och de träffar inte alla väggarna rakt på. Men härledningens anda är bra även om detaljerna inte är, och förhoppningsvis hjälper det att förklara exakt varför den ideala gaslagen har den form som den gör.

Lämna ett svar

Din e-postadress kommer inte publiceras.