îndoirea grinzilor

5.2 îndoirea pură a grinzilor cu secțiune transversală simetrică

cel mai simplu caz de îndoire pură este cel al unui fascicul care posedă o axă verticală de simetrie, supus cuplurilor de capăt egale și opuse (Fig. 5.1 a). Metoda semi-inversă este acum aplicată pentru a analiza această problemă. Momentul M z prezentat în Fig. 5.1 a este definit ca pozitiv, deoarece acționează asupra unei fețe pozitive (negative) cu vectorul său în direcția coordonatelor pozitive (negative). Această convenție semn este de acord cu cea a stresului (secțiunea 1.5). Vom presupune că tensiunea normală pe secțiunea transversală variază liniar cu y și că componentele de stres rămase sunt zero:

figura 5.1. (a) fascicul de secțiune transversală simetrică individual în îndoire pură; (b) distribuția stresului pe secțiunea transversală a fasciculului.

aici k este o constantă, iar y = 0 conține suprafața neutră—adică suprafața de-a lungul căreia XX = 0 intersecția suprafeței neutre și secțiunea transversală localizează axa neutră (abreviată NA). Figura 5.1B arată câmpul de stres liniar într-o secțiune situată la o distanță arbitrară a de la capătul din stânga.

Din Moment Ce Eqs. (5.1) indicați că suprafețele laterale sunt lipsite de stres, trebuie doar să fim siguri că tensiunile sunt în concordanță cu condițiile limită de la capete. Aceste condiții de echilibru necesită ca rezultatul forțelor interne să fie zero și ca momentele forțelor interne în jurul axei neutre să fie egale cu momentul aplicat

unde A este aria secțiunii transversale. Rețineți că zero stres componente txy, txz în Eqs. (5.1) satisfaceți condițiile în care nu există forțe direcționate y și z la fețele finale. Mai mult decât atât, datorită simetriei y a secțiunii, xxx = ky nu produce nici un moment în jurul axei Y. Semnul negativ din a doua expresie implică faptul că un moment pozitiv mz este unul care are ca rezultat stres compresiv (negativ) în punctele pozitive y. înlocuind EQ-urile. (5.1) în SCM. (5.2) producții

de la k 0, EQ. (5.3 A) indică faptul că primul moment al ariei secțiunii transversale în jurul axei neutre este zero. Acest lucru necesită ca axele neutre și centroide ale secțiunii transversale să coincidă. Neglijând forțele corpului, este clar că ecuațiile de echilibru (3.4) sunt satisfăcute de EQ-uri. (5.1). De asemenea, se poate verifica cu ușurință că Eqs. (5.1) împreună cu legea lui Hooke îndeplinesc condițiile de compatibilitate, Eq. (2.12). Astfel, Eqs. (5.1) reprezintă o soluție exactă.

integrala din Eq. (5.3 b) definește momentul de inerție Iz al secțiunii transversale în jurul axei z a secțiunii transversale a fasciculului (Apendicele C); prin urmare,

o expresie pentru stresul normal poate fi acum scrisă prin combinarea EQ-urilor. (5.1) și (a):

aceasta este formula familiară de flexiune elastică aplicabilă grinzilor drepte.

deoarece, la o anumită secțiune, M și I sunt constante, tensiunea maximă este obținută din Eq. (5.4) luând |y|max = c:

unde s este modulul secțiunii elastice. Ecuația (5.5) este utilizată pe scară largă în practică datorită simplității sale. Pentru a facilita utilizarea sa, modulele de secțiune pentru numeroase secțiuni comune sunt tabelate în diferite manuale. Un stres fictiv în fibre extreme, calculat din Eq. (5.5) pentru momentul final de încovoiere obținut experimental (Secțiunea 12.7), se numește modulul de ruptură a materialului în îndoire. Această cantitate, X-Max=Mu / S, este frecvent utilizată ca măsură a rezistenței la încovoiere a materialelor.

5.2.1 relații cinematice

pentru a obține o perspectivă suplimentară asupra problemei fasciculului, considerăm acum geometria deformării—adică cinematica fasciculului. Fundamental pentru această discuție este ipoteza că secțiunile inițial plane rămân atât de ulterioare îndoirii. Pentru un fascicul de secțiune transversală simetrică, legea lui Hooke și Eq. (5.4) conduce la

unde EIZ este rigiditatea la încovoiere.

să examinăm deformarea axei fasciculului, a cărei deformare axială este zero. Figura 5.2 a prezintă un element al unui fascicul inițial drept, acum într-o stare deformată. Deoarece fasciculul este supus unei îndoiri pure, uniforme pe tot parcursul, fiecare element de lungime infinitezimală are o deformare identică, astfel încât curbura fasciculului este peste tot aceeași. Axa deviată a fasciculului sau curba de deviere este astfel prezentată deformată, cu raza de curbură rx. Curbura axei fasciculului în planul xy în ceea ce privește devierea y este

figura 5.2. (a) segmentul unui fascicul îndoit; (b) geometria deformării.

în cazul în care forma aproximativă este valabilă pentru deformări mici (du/DX 1). Convenția semnului pentru curbura axei fasciculului este astfel încât acest semn este pozitiv atunci când fasciculul este îndoit concav în jos, așa cum se arată în figură.

așa cum arată geometria din Fig. 5.2 b, sectoarele umbrite sunt similare. Prin urmare, raza de curbură și tulpina sunt legate după cum urmează:

unde ds este lungimea arcului mn de-a lungul axei longitudinale a fasciculului. Pentru o deplasare mică, DS XX și XX reprezintă panta du/dx a axei fasciculului. În mod clar, pentru curbura pozitivă prezentată în Fig. 5.2 a, crește în timp ce ne deplasăm de la stânga la dreapta de-a lungul axei fasciculului. Pe baza SCM. (5.6) și (5.8),

urmând o procedură similară și observând că ez-vex, putem obține și curbura în planul yz ca

ecuația de bază a curbei de deviere a unui fascicul este obținută prin combinarea EQ-urilor. (5.7) și (5.9 a), după cum urmează:

această expresie, raportând curbura fasciculului la momentul de îndoire, este cunoscută sub numele de legea Bernoulli—Euler a teoriei elementare de îndoire. Se observă din Fig. 5.2 și Eq. (5.10) că un moment pozitiv produce o curbură pozitivă. Dacă Convenția semn adoptată în această secțiune pentru moment sau deviere (și curbură) este inversată, semnul plus în Eq. (5.10) ar trebui, de asemenea, inversat.

referință la Fig. 5.2 a relevă faptul că suprafețele laterale superioare și inferioare au fost deformate în suprafețe în formă de șa sau anticlastice de curbură 1/rz. Laturile verticale au fost rotite simultan ca urmare a îndoirii. Examinarea Eq. (5.9 b) sugerează o metodă pentru determinarea raportului lui Poisson . Pentru un anumit fascicul și moment de îndoire, o măsurare de 1/rz duce direct la v. efectul curburii anticlastice este mic atunci când adâncimea fasciculului este comparabilă cu lățimea sa.

5.2.2 teoria fasciculului Timoșenko

teoria grinzilor Timoșenko, dezvoltată de S. P. Timoșenko la începutul secolului al XX—lea, constituie o îmbunătățire față de teoria Euler-Bernoulli. În cazul static, diferența dintre cele două ipoteze este că prima include efectul tensiunilor de forfecare asupra deformării prin asumarea unei forfecări constante peste înălțimea fasciculului, în timp ce cea din urmă ignoră influența forfecării transversale asupra deformării fasciculului. Teoria lui Timoșenko se spune, de asemenea, că este o extensie a teoriei fasciculului obișnuit care permite efectul deformării forfecării transversale, relaxând în același timp presupunerea că secțiunile plane rămân plane și normale față de axa fasciculului deformat.

teoria fasciculului Timoshenko este foarte potrivită pentru a descrie comportamentul grinzilor scurte și al grinzilor compozite sandwich. În cazul dinamic, teoria încorporează deformarea forfecării, precum și efectele de inerție de rotație și va fi mai precisă pentru grinzile nu foarte subțiri. Luând în considerare în mod eficient mecanismul de deformare, teoria lui Timoșenko scade rigiditatea fasciculului, rezultatul fiind o deformare mai mare sub sarcină statică și frecvențe fundamentale de vibrație mai mici prezise pentru un set prescris de condiții limită.

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată.