Rayo’ s number

en bruger har anmodet om semi beskyttelse af denne side i 1 år. Årsagen er: for nylig vandaliseret.

Rayos nummer er et af de største navngivne tal, der er opfundet i et stort antal slag, der sætter Agust Larsn Rayo mod Adam Elga. Rayos tal er med Rayos egne ord ” det mindste positive heltal større end noget endeligt positivt heltal navngivet af et udtryk på sproget i førsteordens sætteori med googol-symboler eller mindre.”

selvom den anden ordens sætteori var uspecificeret i den oprindelige definition og afklares som den filosofiske (men matematisk dårligt definerede) samling af formler, som den virkelige verden filosofisk “tilfredsstiller”, er det rimeligt at antage, at \(\teksttrm{SFC}\) sætteori er et første ordens segment af den uspecificerede sætteori, fordi flertallet af matematikere og googologer er interesseret i \(\teksttrm{SFC}\) sætteori. Under antagelsen vokser Rayos funktion alle funktioner, der kan defineres i \(\tekstrm{SFC}\) sætteori. I hele denne artikel, vi bruger altid den samme antagelse bortset fra aksiom sektion, som mere dybt forklarer spørgsmålet om manglen på afklaring af anden ordens sætteori.

Rayos funktion er en af de mest hurtigt voksende funktioner, der nogensinde er opstået i professionel matematik; kun få funktioner, især dens udvidelse, fisk nummer 7 overgår det. Da Rayos funktion bruger vanskelig matematik, er der flere forsøg for at generalisere det, hvilket resulterer i fiasko. For eksempel blev funktionen fod (førsteordens Oodle-teori) også anset for at overgå den, men den er dårligt defineret.

Definition

Lad \(\) og \(\) være G-kodede formler og \(s\) og \(t\) være variable tildelinger. Definer \(\tekst{Sat} (, s)\) som følger:

\(\tekst{Rayo} (n)\) er så det mindste tal større end alle tal Rayo-namable i \(n\) symboler.

Bemærk, at i den oprindelige definition af \(\tekst{Sat}\) var i den oprindelige definition, at de var i t(hi) og t(hi) = t(hj) i definitionen af \ (\tekst {Sat}\) ovenfor. Selvom H_1 er den eneste frie variabel, der er tilladt at forekomme i et Rayo-navn, henvises der faktisk til variabeltildelingen for h_i i tilfredshed med kr.- fourmulae. Derfor fungerede den oprindelige definition ikke som Rayo faktisk havde til hensigt, og er blevet opdateret af Rayo selv. (Hentet 19/05/2020)

Forklaring 1

der er mange terminologier af formel logik afhængigt af forfattere. Vi forklarer en af sådanne terminologier. Et formelt sprog er et sæt af konstant term symboler, variable term symboler indekseret af naturlige tal, funktion symboler og relation symboler. En formel i et formelt sprog \(L\) er formelle strenge Bygget fra konstant term symboler i \(L\), variable term symboler i \(L\), funktion symboler i \(L\), relation symboler i \(L\), kvantificeringerog logiske forbindelser efter en bestemt syntaks.

en fortolkning af formler i \(L\) er et kort, der tildeler en konstant til hvert konstant term symbol, en funktion til hvert funktionssymbol og en relation til hvert relationssymbol. Givet en fortolkning af formler i \(L\), vil hver lukket formel i \(L’\) blive evalueret som sand eller falsk, så længe et sandhedspredikat kan formaliseres, fordi det svarer til en formel på parametre i \(V\). Især givet en variabel opgave og en fortolkning kan vi spørge, om en given formel i \(L\) er sand eller falsk, så længe et sandhedspredikat er formaliserbart. For at formalisere et sandhedspredikat har vi brug for en tilstrækkelig stærk sætteori. F. eks.er teorien ikke egnet til dette formål.

Rayo definerede et meget specifikt og abstrakt formelt sprog sammen med et kanonisk valg af en fortolkning:

  • en atomformel betyder, at ATH-variablen er et element i BTH-variablen.
  • en atomformel “a=BB” betyder, at ATH-variablen er lig med BTH-variablen.
  • en Formel “(e)” for en Formel E betyder negationen af e.
  • en Formel “(E-bogstav f)” for formler E og f betyder sammenhængen (den logiske og) af e og f.
  • en formel “bogstav H(e)” betyder, at vi kan ændre den frie forekomst af ATH-variablen, i.e. Erstat med et andet medlem af klassen \(V\) af alle sæt, i e, så formlen e er sand.

en atomformel er en speciel slags formel.

hvis en formel returnerer sand, når en variabel tildeling er tilsluttet den, siger vi, at den variable tildeling “opfylder” denne formel.

nu når vi frem til kernekonceptet Rayo-nameability og ignorerer længdebegrænsningen:

der er en formel \(\phi\), således at alle tilfredsstillende variable opgaver skal have \(m\) som deres første argument, og der er mindst en sådan opgave.

vi kan fortsætte med dette mønster og definere hvert naturligt tal ved hjælp af denne metode. Det giver os mulighed for at navngive tallet \(n\) I \(O(n^2)\) symboler. Med større værdier er det muligt at definere rekursive operationer, så vi kan Rayo-navngive større og større tal ved hjælp af kompakt notation. I betragtning af et tilstrækkeligt stort antal ville en Rayo-streng, der definerer eksponentiering, have brug for mindre symboler end vores na-kristve-teknik.

Bemærk, at symbolet HN tælles som et enkelt symbol – det bør ikke opdeles i separate symboler h og n.

vi har alle brikkerne på plads til at definere Rayos funktion:

Rayos funktion \(\Tekst{Rayo}(n)\) er defineret som det mindste ikke-negative heltal større end alle ikke-negative heltal Rayo-nameable i højst \(n\) symboler.

Hvorfor er Rayo ‘ s funktion uncomputable? Ved hjælp af Rayos mikrosprog kan man konstruere et sæt, hvis elementer er såkaldte øjeblikkelige beskrivelser af en Turing-maskine, og ud fra dette er det bare et lille skridt at definere optaget Bæverfunktion. Med større indsats kan man endda konstruere oracle Turing-maskiner og definere deres analoger af Busy Beaver-funktion, hvilket Googology-bruger EmK har gjort.

eksempel på Rayo-strenge og deres værdier

således:

\begynd{Rayo*}\tekst{Rayo}(0) &=& 0 \\\tekst{Rayo}(10) &\ge& 1 \\\tekst{Rayo}(30) &\ge& 2 \\\tekst{Rayo}(56) &\ge& 3 \\\end{eknarray*}

selvom dette argument kun giver lavere grænser, er de præcise værdier for små værdier givet af Googology ‘ simple og EMK:

\begynd{e-mail*}\tekst{Rayo}(0) &=& 0 \\\tekst{Rayo}(1) &=& 0 \\&\vdots& \ \ \ tekst{Rayo}(9) &=& 0 \\\tekst{Rayo}(10) &=& 1 \\\tekst{Rayo}(11) &=& 1 \\&\vdots& \ \ \ tekst{Rayo}(19) &=& 1 \\\245>

Rayo-funktionen har næppe kvadratrodvæksthastighed for små værdier, men hvis vi tilføjer et ton symboler, kan vi repræsentere meget større tal.

så:

\begynd{e-mail*}\tekst{Rayo}(861) &>& 4 \\\tekst{Rayo}(926) &>& 16 \\\tekst{Rayo}(984) &>& 65536 \\\tekst{Rayo}(1026) &>& 2^{65536} \\\

og så videre. Plain ‘ N ‘ simple siger også, at \(\tekst{Rayo} (10000) > 2\Upar\Upar\upar65536\), selvom han ikke giver et bevis.

Emk har vist, at \(\tekst{Rayo} (7901) > \ tekst{S}(2^{65536} – 1)\), hvor \(\tekst{S} (n)\) er den maksimale skiftfunktion.

forklaring 2

vi åbner med Berrys paradoks:

lad være det mindste naturlige tal større end alle dem, der kan defineres i højst femten engelske ord. “Det mindste naturlige tal større end alle dem, der kan defineres i højst femten engelske ord.”Vi har lige defineret s ved hjælp af højst femten engelske ord, så derfor kan vi ikke være større end alle naturlige tal, der kan defineres i højst femten engelske ord. Dette er en modsigelse.

kilden til paradokset er tvetydigheden af ordet “definerbart” og mere fundamentalt tvetydigheden af det engelske sprog selv. Rayos funktion omgår disse matematiske synder ved at erstatte engelsk med det kaldte sprog førsteordens sætteori (FOST). FOST er sproget i førsteordens logik med von Neumann universet som domæne. Specifikt er FOST i stand til at bestemme sæt medlemskab, kvantificere over universet og anvende logiske operatører. De nitty-gritty detaljer om, hvordan dette fungerer, er angivet ovenfor.

vi løser det smuthul, der forårsager Berrys paradoks, hvilket resulterer i følgende definition af Rayo(n), som er:

det mindste naturlige tal større end alle naturlige tal, der kan identificeres entydigt ved et FOST udtryk for højst n symboler

paradokset er væk nu, fordi definerbarheden er blevet erstattet med et formelt sprog. FOST er underlagt Tarskis udefinerbarhedssætning, som siger, at vi ikke formelt kan definere sandhed, endsige definerbarhed, så FOST kan ikke påberåbe sig FOST, som engelsk kan påberåbe sig engelsk.

aksiom

for at definere et naturligt tal ved hjælp af sætteori skal vi rette under hvilke aksiomer vi definerer det. Et problem i definitionen af Rayos nummer er, at Rayo ikke afklarede aksiomerne. I matematik udelader vi traditionelt erklæringen om de aksiomer, hvor vi arbejder, så længe vi arbejder i \(\tekstrm{SFC}\) sætteori. Ifølge traditionen mener flere googologer, at Rayos tal er defineret i sætteori eller er irrelevant for aksiomer, men det er forkert.

i det mindste, da \(\tekstrm{SFC}\) sætteori ikke er i stand til at formalisere sandhedspredikat ved von Neumann universe, er Rayos nummer dårligt defineret i \(\tekstrm{SFC}\) sætteori, medmindre vi fortolker definitionen af Rayos nummer med hensyn til bevislighed. Selv hvis vi fortolker definitionen på den måde, vil det resulterende store antal ikke være væsentligt større end for eksempel \(\Sigma(10^{100})\) (hvor \(\Sigma\) er den travle bæverfunktion), fordi bevisligheden i en rekursivt tællelig teori med en begrænsning af længden kan afgøres af en Turing-maskine. For at komme betydeligt ud over den travle Bæverfunktion, skal vi opgive bevislighed og tale om sandhed i en bestemt model, hvis eksistens ikke kan bevises under \(\tekstrm{SFC}\) sætteori, så længe \(\tekstrm{SFC}\) sætteori er konsistent.

på den anden side er FOST bare et formelt sprog, som er irrelevant for aksiomer ved definitionen, men det betyder ikke, at Rayos nummer er irrelevant for aksiomer. Irrelevansen af FOST og aksiomer eller forholdet mellem den travle Bæverfunktion og den bevisbaserede fortolkning af definitionen af Rayos nummer kan være hovedårsagerne til misforståelsen om, at Rayos nummer er irrelevant for aksiomer.

da Rayo skrev, at han bruger andenordens sætteori for at formalisere det primitive semantik ordforråd i den oprindelige beskrivelse, er Rayos nummer defineret under visse aksiomer af andenordens sætteori, som ikke er afklaret. Det er vigtigt at afklare aksiomer i uncomputable googology, fordi uncomputable store tal kun kan sammenlignes med hinanden, når de deler aksiomer, der anvendes i deres definitioner. Heldigvis er der mange valg af aksiomer af andenordens sætteori, som gør det muligt for os at definere Rayos nummer. Som en konklusion er Rayos nummer veldefineret for googologer, der ikke bryr sig om afklaring af aksiomer og er dårligt defineret for googologer, der bryr sig om afklaring af aksiomer. Derfor tilhører denne artikel Kategori: ufuldstændig.

i 2020 tilføjede Rayo følgende nye beskrivelse af måden at håndtere Rayos nummer på:

Bemærk: filosoffer antager undertiden en realistisk fortolkning af sætteori. På denne fortolkning har sætteoretiske udtryk” standard ” betydninger, som bestemmer en bestemt sandhedsværdi for hver sætning i sproget, uanset om det i princippet er muligt at vide, hvad disse sandhedsværdier er. (Se for eksempel Denne artikel af Vann McGee.) Under konkurrencen tog Adam og jeg for givet, at langauge af (andenordens) sætteori blev fortolket standard, hvilket garanterer, at den endelige post svarer til et bestemt antal. Hvis langauge i stedet var blevet fortolket på grundlag af et aksiomsystem, ville den endelige post have været ugyldig. Dette skyldes, at hver (konsistent) aksiomatisering af sproget har ikke-isomorfe modeller, og der er ingen garanti for, at den endelige post svarer til det samme antal med hensyn til forskellige modeller.

dette betyder, at Rayo betragter en filosofisk ” fortolkning “af sætteoretiske formler med hensyn til” sandheden ” i den virkelige verden, som ikke kan formaliseres i matematik, og ikke har til hensigt et specifikt valg af aksiomer. Det er en af rimelige retninger af googologi uden for matematik. På den anden side ser spørgsmålet i sidste sætning ud som en undskyldning for, hvorfor de tager den uformaliserbare “sandhed” for givet, men det giver ikke mening, fordi afhængigheden af værdien af et givet tal på en model er irrelevant for “ugyldigheden”. I matematik er der mange veldefinerede forestillinger, som ikke er absolutte, dvs.afhænger af en model, f. eks. det unikke naturlige tal \(n\) tilfredsstillende \((\tekst{CH} \til n=0) \land (\neg \tekst{CH} \til n=1)\). I googologi er der mange store tal, der afhænger af en model, f.eks. værdier for optaget Bæverfunktion og især \(S(1919)\), hvor \(S\) angiver maksimal skiftfunktion. I Big Number Duel er der ingen regel, der forbyder et tal, der afhænger af en model, og det er endda tilladt at springe over for at rette aksiomer.

historie

Rayo og Elgas nummerduel blev inspireret af de store antal konkurrencer, der er beskrevet i artiklen “Hvem kan navngive det større antal?”af Scott Aaronson.

i januar 2013 hævdede Adam P. Goucher, at \(\tekst{Rayo}(n)\) vokser langsommere end hans funktion. Påstanden viste sig imidlertid at være forkert, fordi Goucher misforstod definitionen af Rayos funktion som det “største heltal, der kan udtrykkes entydigt med n-symboler i førsteordens aritmetik (Peano-aritmetikens sprog).”. Andenordens aritmetik er meget stærkere, og førsteordens sætteori er endnu stærkere end det. Førsteordens aritmetiske diskursdomæne er de naturlige tal, men førsteordens sætteoriens diskursdomæne er defineret til at være sæt af hele von Neumann-universet. Faktisk kan det vises, at Rayos funktion er meget kraftigere end funktionen.

Rayos nummer blev hædret som det største navngivne nummer indtil 2014, da BIG FOOT blev defineret ved hjælp af en ikke-naiv udvidelse af N-ordens sætteori, den første ordens oodle-teori. Bemærk, at naive udvidelser som \(\tekst{FOST}^{100}(10^{100})\) hvor rekursion / iteration notation bruges, er ikke hædret som at bryde rekorden for Rayos nummer. Selvom Rayos nummer tidligere blev overgået i 2013 af fisk nummer 7, var det diskutabelt, om dette nummer var en god nok udvidelse til at blive hædret som at bryde rekorden. BIG FOOT viste sig imidlertid at være dårligt defineret i 2018. I øjeblikket deler alle de største navngivne tal det samme koncept for Rayos funktion, dvs.henviser til navnbarheden af naturlige tal og alle de ikke-naive udvidelser såsom fodfunktionen.

forfatter

nummeret blev opfundet af Dr. Agust, lektor i lingvistik og filosofi ved Massachusetts Institute of Technology, hvor han modtog sin ph.d. i 2001.

kilder

Se også

  • Rayos nummer.
  • travl bæver
  • stor fod
  • lille Bigeddon
  • stort antal have nummer
  • Uncomputable funktion
stort antal i computere
Hovedartikel: Tal i computer aritmetik

127 · 128 · 256 · 32767 · 32768 · 65536 · 2147483647 · 4294967296 · 9007199254740991 · 9223372036854775807 · FRACTRAN katalognumre
bignum Bakeoff deltagere: pete-3.c * pete-9.c * pete-8.c * harper.c * ioannis.c * chan-2.c * chan-3.c * pete-4.c * chan.c * pete-5.c * pete-6.c * pete-7.c * marksen.c * loader.C
kanalsystemer: lossy kanalsystem * prioritetskanalsystem
Ukomputable funktioner: Optaget bæverfunktion * maksimal skiftfunktion * Doodle-funktion * Betti-nummer * ti-funktion * ittm optaget bæver * Rayo (n) * fod (n)
koncepter: rekursion

Skriv et svar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret.