por que / como é$ PV=k $ verdadeiro em um gás ideal?

provavelmente existem várias maneiras de abordar isso, mas acho que uma boa maneira simples é considerar o mecanismo microscópico que produz pressão.

Imagine um recipiente esférico de algum raio $r $ com apenas uma partícula de gás nele. Nossa partícula de gás tem uma massa $m $ e uma velocidade $v$.

pressão

quando a partícula de gás atinge as paredes do vaso e salta para trás, ela exerce uma força nas paredes do vaso. Isso é exatamente o mesmo que se eu jogar um objeto pesado em você para que o objeto exerce uma força sobre você quando ele atinge você. Para calcular essa força, você precisa saber que a força é a mesma que a taxa de mudança de momento.

a cada colisão, a velocidade da partícula muda de $v $ para $-v$, então o momento muda de $mv$ para $-mv$, então a mudança de momento é $\Delta P = 2mV$.

o tempo que a partícula leva para atravessar a esfera é $ \ tau = 2R / V$, então o número de colisões por segundo é $f = 1/\tau = v/2r$.

e a taxa iof mudança de momento, ou seja, a força ” é apenas o ímpeto de mudança por colisão $\Delta p$ vezes o número de colisões por segundo, $f$:

$$ F = \Delta p f = 2mv \frac{v}{2} = \frac{mv^2}{r} $$

E por último, a pressão é a força por unidade de área e a área da esfera é de r $4\pi r^2$, então, vamos acabar com a equação para a pressão:

$$ P = \frac{C}{A} = \frac{mv^2}{4\pi r^3} \tag{1} $$

Agora que você perguntou como é que a pressão é inversamente proporcional ao volume? Bem, o volume de uma esfera é:

$ V$ = \tfrac{4}{3}\pi r^3 $$

E podemos substituir esta em nossa equação (1) para obter:

$$ P = \frac{C}{A} = \frac{mv^2}{3V} \tag{2} $$

Assim descobrimos que a $P \propto 1/V$.

se você estiver interessado, podemos fazer melhor do que isso porque a equipartição de energia informa que a energia cinética da partícula a uma temperatura $T$ será de cerca de $\tfrac{3}{2}kT$. Assim, temos:

$$ \tfrac{1}{2}mv^2 = \tfrac{3}{2}kT $$

e podemos usar este substituto para $mv^2$ na equação (2) para obter:

$ $ P = \ frac {kT} {V} \ tag{3} $$

então também temos a lei Guy-Lussac $p \ propto T$.

e há um último passo. Tudo isso foi para apenas uma partícula. Se tivermos um mol de gás, então isso é $ n_a $ particles, onde $N_a$ é o número de Avagadro. Cada partícula contribui com a mesma mudança de momento, então a força total de todas essas partículas é apenas:

$$ P = \frac{N_a kT}{V} $$

e o produto $N_a k$ é apenas a constante de gás ideal $R$, então nossa equação final é:

$$ P = \frac{RT}{V} $$

que você deve reconhecer imediatamente como a lei do gás ideal.

agora eu joguei muito rápido e solto com esta derivação e há todos os tipos de objeções. Por exemplo, as moléculas de gás têm uma gama de velocidades e nem todas atingem as paredes diretamente. No entanto, o espírito da derivação é bom, mesmo que o detalhe não seja, e espero que isso ajude a explicar exatamente por que a lei do gás ideal tem a forma que tem.

Deixe uma resposta

O seu endereço de email não será publicado.