Flexão de Vigas

5.2 Pura, Flexão de Vigas de Seção Transversal Simétrica

O caso mais simples de flexão pura, é o de um feixe de possuir um eixo vertical de simetria, sujeitas a igualdade e a extremidade oposta casais (Fig. 5.1 a). O método semi-inverso agora é aplicado para analisar esse problema. O momento m z mostrado na Fig. 5.1 A é definido como positivo, porque atua em uma face positiva (negativa) com seu vetor na direção coordenada positiva (negativa). Esta convenção de sinais concorda com a de estresse (seção 1.5). Assumiremos que a tensão normal sobre a seção transversal varia linearmente com y e que os componentes de tensão restantes são zero:

figura 5.1. (a) Feixe de seção transversal única simétrica em flexão pura; (b) distribuição de tensão através da seção transversal da viga.

Aqui k é uma constante, e y = 0 contém a superfície neutra, isto é, a superfície ao longo da qual σx = 0 intersecção da superfície neutra e a seção transversal localiza o eixo neutro (abreviado NA). Figura 5.1B mostra o campo de tensão linear em uma seção localizada a uma distância arbitrária a da extremidade esquerda.

Desde Eqs. (5.1) indicam que as superfícies laterais estão livres de tensão, só precisamos ter certeza de que as tensões são consistentes com as condições de contorno nas extremidades. Essas condições de equilíbrio exigem que a resultante das forças internas seja zero e que os momentos das forças internas sobre o eixo neutro sejam iguais ao momento aplicado

onde A é a área da seção transversal. Observe que os componentes de tensão zero txy, txz no Eqs. (5.1) satisfaça as condições que nenhuma força direcionada a y E z existe nas faces finais. Além disso, por causa da simetria y da seção, σx = ky não produz momento sobre o eixo Y. O sinal negativo na segunda expressão implica que um momento positivo mz é aquele que resulta em tensão compressiva (negativa) em pontos de y positivo. substituindo Eqs. (5.1) em Eqs. (5.2) rendimentos

desde k 0 0, Eq. (5.3 A) indica que o primeiro momento da área da seção transversal sobre o eixo neutro é zero. Isso requer que os eixos neutro e centroidal da seção transversal coincidam. Negligenciando as forças do corpo, é claro que as equações de equilíbrio (3.4), são satisfeitas por Eqs. (5.1). Também pode ser facilmente verificado que Eqs. (5.1) juntamente com a Lei de Hooke cumprir as condições de compatibilidade, Eq. (2.12). Assim, Eqs. (5.1) representam uma solução exata.

a integral na Eq. (5.3 B) define o momento de inércia Iz da seção transversal sobre o eixo z da seção transversal do feixe (Apêndice C); portanto,

uma expressão para estresse normal agora pode ser escrita combinando Eqs. (5.1)e (a):

esta é a fórmula de flexão elástica familiar aplicável a vigas retas.

como, em uma determinada seção, M E I são constantes, a tensão máxima é obtida da Eq. (5.4) tomando / y / max = c:

onde S é o módulo de seção elástica. A equação (5.5) é amplamente empregada na prática por causa de sua simplicidade. Para facilitar seu uso, os módulos de seção para várias seções comuns são tabulados em vários manuais. Um estresse fictício em fibras extremas, calculado a partir da Eq. (5.5) para o momento de flexão final obtido experimentalmente (Seção 12.7), é denominado o módulo de ruptura do material em flexão. Essa quantidade, σmax = Mu / S, é freqüentemente usada como medida da resistência à flexão dos materiais.

5.2.1 relações cinemáticas

para obter mais informações sobre o problema do feixe, agora consideramos a geometria da deformação-isto é, cinemática do feixe. Fundamental para essa discussão é a hipótese de que as seções originalmente planas permanecem tão subsequentes à flexão. Para um feixe de seção transversal simétrica, Lei de Hooke e Eq. (5.4) levam a

onde EIz é a rigidez flexural.Vamos examinar a deflexão do eixo do feixe, cuja deformação axial é zero. A figura 5.2 A mostra um elemento de um feixe inicialmente reto, agora em um estado deformado. Como a viga é submetida a flexão pura, uniforme por toda parte, cada elemento de comprimento infinitesimal experimenta deformação idêntica, com o resultado de que a curvatura da viga é a mesma em todos os lugares. O eixo desviado do feixe ou a curva de deflexão é assim mostrado deformado, com raio de curvatura rx. A curvatura do eixo do feixe no plano xy em termos da deflexão y é

figura 5.2. (a) segmento de uma viga dobrada; (B) geometria de deformação.

onde a forma aproximada é válida para pequenas deformações (du/dx≪1). A Convenção de sinais para curvatura do eixo do feixe é tal que este sinal é positivo quando o feixe é dobrado côncavo para baixo, como mostrado na figura.

como mostrado pela geometria na Fig. 5.2 b, os setores sombreados são semelhantes. Portanto, o raio de curvatura e a tensão estão relacionados da seguinte forma:

onde ds é o comprimento do arco mn ao longo do eixo longitudinal do feixe. Para um pequeno deslocamento, ds ≈ dx e θ representa a inclinação du / dx do eixo do feixe. Claramente, para a curvatura positiva mostrada na Fig. 5.2 A, θ aumenta à medida que nos movemos da esquerda para a direita ao longo do eixo do feixe. Com base em Eqs. (5.6) e (5.8),

a Seguir um procedimento semelhante e observando que a ez ≈ -Vex, também podemos obter a curvatura no plano yz

A equação básica da curva de deflexão de um feixe é obtida combinando as Eqs. (5.7) e (5.9 a) do seguinte modo:

esta expressão, relacionando a curvatura do feixe ao momento de flexão, é conhecida como a lei Bernoulli—Euler da teoria da flexão elementar. É observado a partir da Fig. 5.2 e Eq. (5.10) que um momento positivo produz uma curvatura positiva. Se a Convenção de sinais adotada nesta seção Para momento ou deflexão (e curvatura) for invertida, o sinal de mais em Eq. (5.10) também deve ser revertido.

referência à Fig. 5.2 A revela que as superfícies laterais superior e inferior foram deformadas em superfícies em forma de sela ou anticlásticas de curvatura 1/rz. Os lados verticais foram girados simultaneamente como resultado da flexão. Examinando Eq. (5.9 B) sugere um método para determinar a razão de Poisson . Para um determinado feixe e momento de flexão, uma medição de 1/rz leva diretamente a v. O efeito da curvatura anticlástica é pequeno quando a profundidade do feixe é comparável à sua largura.

5.2.2 teoria do feixe de Timoshenko

a teoria dos feixes de Timoshenko, desenvolvida por S. P. Timoshenko no início do século XX, constitui uma melhoria em relação à teoria de Euler—Bernoulli. No caso estático, a diferença entre as duas hipóteses é que a primeira inclui o efeito das tensões de cisalhamento na deformação, assumindo um cisalhamento constante sobre a altura do feixe, enquanto a última ignora a influência do cisalhamento transversal na deformação do feixe. A teoria de Timoshenko também é considerada uma extensão da teoria do feixe comum que permite o efeito da deformação transversal do cisalhamento enquanto relaxa a suposição de que as seções planas permanecem planas e normais para o eixo do feixe deformado.

a teoria do feixe Timoshenko é adequada para descrever o comportamento de vigas curtas e vigas compostas sanduíche. No caso dinâmico, a teoria incorpora deformação por cisalhamento, bem como efeitos de inércia rotacional, e será mais preciso para feixes não muito finos. Ao efetivamente levar em conta o mecanismo de deformação, a teoria de Timoshenko reduz a rigidez do feixe, com o resultado sendo uma deflexão maior sob carga estática e menores frequências fundamentais previstas de vibração para um conjunto prescrito de condições de contorno.

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