zginanie Belek

5.2 czyste zginanie Belek o symetrycznym przekroju

najprostszym przypadkiem czystego zginania jest belka o pionowej osi symetrii, poddana równym i przeciwległym parom końcowym (rys. 5.1 a). Metoda semi-inverse jest obecnie stosowana do analizy tego problemu. Moment M z pokazany na Rys. 5.1 A definiuje się jako dodatnie, ponieważ działa na oblicze dodatnie (ujemne) z jego wektorem w kierunku współrzędnych dodatnich (ujemnych). Ta konwencja znak zgadza się z tym stresu (sekcja 1.5). Zakładamy, że naprężenie normalne na przekroju poprzecznym zmienia się liniowo z y, a pozostałe składniki naprężenia wynoszą zero:

rysunek 5.1. a) belka o pojedynczo symetrycznym przekroju poprzecznym w prostym zginaniu; b) rozkład naprężeń w przekroju poprzecznym belki.

tutaj k jest stałą, a y = 0 zawiera powierzchnię neutralną-czyli powierzchnię, wzdłuż której σx = 0 przecięcie powierzchni neutralnej i przekroju poprzecznego wyznacza oś Neutralną (w skrócie NA). Rysunek 5.1b pokazuje liniowe pole naprężeń w sekcji znajdującej się w dowolnej odległości a od lewego końca.

Od Eqs. (5.1) wskazać, że powierzchnie boczne są wolne od naprężeń, musimy tylko mieć pewność, że naprężenia są zgodne z warunkami brzegowymi na końcach. Te warunki równowagi wymagają, aby wypadkowa sił wewnętrznych była równa zeru, a momenty sił wewnętrznych wokół osi neutralnej były równe przyłożonemu momentowi

, gdzie A jest polem przekroju. Zauważ, że składniki zero stres TXY, txz w korektorach. (5.1) spełnij warunki, w których na powierzchniach końcowych nie występują siły kierowane przez y i Z. Ponadto, ze względu na symetrię y odcinka, σx = ky nie tworzy żadnego momentu wokół osi Y. Znak ujemny w drugim wyrażeniu oznacza, że moment dodatni mz to taki, który powoduje naprężenie ściskające (ujemne) w punktach dodatniego y. (5.1) w Eqs. (5.2) daje

od k ≠ 0, Eq. (5.3 A) wskazuje, że pierwszy moment pola przekroju wokół osi neutralnej wynosi zero. Wymaga to zbieżności neutralnych i centroidalnych osi przekroju. Pomijając siły ciała, jest oczywiste, że równania równowagi (3.4), są spełnione przez Eqs. (5.1). Można również łatwo zweryfikować, że Eqs. (5.1) wraz z prawem Hooke ’ a spełniają warunki zgodności, Eq. (2.12). Tak Więc, Eqs. (5.1) stanowią dokładne rozwiązanie.

Całka w korektorze (5.3 b) definiuje moment bezwładności Iz przekroju poprzecznego wokół osi Z przekroju poprzecznego belki (Dodatek C); dlatego

wyrażenie dla naprężeń normalnych można teraz zapisać poprzez połączenie Eqs. (5.1) oraz (a):

jest to znana formuła elastycznego zginania stosowana do belek prostych.

ponieważ na danym odcinku M I I są stałe, maksymalne naprężenie uzyskuje się z równania. (5.4) przyjmując |y / max = C:

gdzie S jest modułem przekroju sprężystego. Równanie (5.5) jest powszechnie stosowane w praktyce ze względu na swoją prostotę. Aby ułatwić jego wykorzystanie, Moduły sekcji dla wielu wspólnych sekcji są tabelaryczne w różnych podręcznikach. Fikcyjny stres w ekstremalnych włóknach, obliczony na podstawie równania. (5.5) Dla doświadczalnie uzyskanego ostatecznego momentu zginającego (Sekcja 12.7), nazywany jest modułem pęknięcia materiału podczas zginania. Ta ilość, σmax = Mu / S, jest często używana jako miara wytrzymałości na zginanie materiałów.

5.2.1 relacje kinematyczne

aby uzyskać dalszy wgląd w problem wiązki, rozważamy teraz geometrię deformacji—czyli kinematykę wiązki. Fundamentalną dla tej dyskusji jest hipoteza, że odcinki pierwotnie płaskie pozostają tak po wygięciu. Dla wiązki o symetrycznym przekroju, Prawo Hooke ’ a i Eq. (5.4) prowadzić do

gdzie EIz oznacza sztywność zginania.

przyjrzyjmy się ugięciu osi wiązki, której odkształcenie osiowe wynosi zero. Rysunek 5.2 A przedstawia element początkowo prostej belki, teraz w stanie zdeformowanym. Ponieważ belka jest poddawana czystemu zginaniu, jednorodnemu w całym elemencie, każdy element o nieskończonej długości doświadcza identycznej deformacji, w wyniku czego krzywizna belki jest wszędzie taka sama. Odchylona oś wiązki lub krzywa ugięcia jest w ten sposób przedstawiona zdeformowana, z promieniem krzywizny rx. Krzywizna osi wiązki w płaszczyźnie xy pod względem ugięcia y υ wynosi

rysunek 5.2. a) Segment wygiętej belki; B) geometria odkształcenia.

gdzie przybliżona forma jest ważna dla małych odkształceń (du/dx≪1). Konwencja znaku dla krzywizny osi belki jest taka, że znak ten jest dodatni, gdy belka jest wygięta wklęsła w dół, jak pokazano na rysunku.

jak pokazuje geometria na Rys. 5.2 b, zacienione sektory są podobne. Stąd promień krzywizny i odkształcenie są powiązane w następujący sposób:

gdzie ds jest długością łuku mn wzdłuż osi podłużnej belki. Dla małego przemieszczenia DS ≈ DX i θ reprezentuje nachylenie du / DX osi wiązki. Oczywiście dla dodatniej krzywizny pokazanej na Fig. 5.2 A, θ wzrasta, gdy poruszamy się od lewej do prawej wzdłuż osi wiązki. Na podstawie Eqs. (5.6) i (5.8),

stosując podobną procedurę i zauważając, że ez ≈ – Vex, możemy również otrzymać krzywiznę w płaszczyźnie yz jako

podstawowe równanie krzywej ugięcia wiązki uzyskuje się przez połączenie Eqs. (5.7) i (5.9 a) w następujący sposób:

to wyrażenie, odnoszące się do krzywizny wiązki do momentu zginającego, jest znane jako prawo Bernoulliego—Eulera elementarnej teorii zginania. Obserwuje się to z Fig. 5.2 i równoważnik. (5.10) że dodatni moment wytwarza dodatnią krzywiznę. Jeżeli konwencja znaku przyjęta w niniejszej sekcji dla momentu lub odchylenia (i krzywizny) jest odwrócona, znak plus w równaniu. (5.10) podobnie powinno być odwrócone.

5.2 A ujawnia, że górne i dolne powierzchnie boczne zostały zdeformowane w siodłowe lub antyklastyczne powierzchnie krzywizny 1/rz. Pionowe boki zostały jednocześnie obrócone w wyniku zginania. Badanie Eq. (5.9 B) sugeruje metodę wyznaczania stosunku Poissona . Dla danej wiązki i momentu zginającego pomiar 1 / rz prowadzi bezpośrednio do v. efekt krzywizny antyklastycznej jest niewielki, gdy głębokość wiązki jest porównywalna z jej szerokością.

5.2.2 teoria Belek Timoszenki

teoria belek Timoszenki, opracowana przez S. P. Timoszenkę na początku XX wieku, stanowi ulepszenie w stosunku do teorii Eulera—Bernoulliego. W przypadku statycznym różnica między tymi dwoma hipotezami polega na tym, że pierwsza obejmuje wpływ naprężeń ścinających na odkształcenie poprzez założenie stałego ścinania na wysokości wiązki, podczas gdy druga ignoruje wpływ ścinania poprzecznego na odkształcenie wiązki. Teoria Tymoszenko jest również uważana za rozszerzenie zwykłej teorii wiązki, która pozwala na efekt poprzecznej deformacji ścinania przy jednoczesnym złagodzeniu założenia, że odcinki płaszczyzny pozostają płaskie i normalne dla zdeformowanej osi wiązki.

teoria belki Timoshenko jest dobrze nadaje się do opisu zachowania krótkich belek i warstwowych belek kompozytowych. W przypadku dynamicznym teoria obejmuje odkształcenia ścinające, a także efekty bezwładności obrotowej i będzie dokładniejsza dla niezbyt smukłych belek. Dzięki skutecznemu uwzględnieniu mechanizmu odkształcenia, teoria Timoshenki obniża sztywność belki, czego rezultatem jest większe ugięcie pod obciążeniem statycznym i niższe przewidywane podstawowe częstotliwości drgań dla określonego zestawu warunków brzegowych.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany.