numer Rayo

użytkownik zażądał pół ochrony tej strony przez 1 rok. Podany powód to: niedawno zdewastowany.

liczba Rayo jest jedną z największych nazwanych liczb, ukutych w dużej bitwie z Agustínem Rayo przeciwko Adamowi Eldze. Liczba Rayo jest, we własnych słowach Rayo, „najmniejszą dodatnią liczbą całkowitą większą od dowolnej skończonej dodatniej liczby całkowitej nazwanej wyrażeniem w języku teorii zbiorów pierwszego rzędu z symbolami googola lub mniej.”

chociaż teoria zbiorów drugiego rzędu była nieokreślona w pierwotnej definicji i jest wyjaśniona jako filozoficzny (ale matematycznie źle zdefiniowany) zbiór formuł, które świat rzeczywisty filozoficznie „zaspokaja”, rozsądne jest założenie, że \(\textrm{ZFC}\) teoria mnogości jest segmentem pierwszego rzędu nieokreślonej teorii mnogości, ponieważ większość matematyków i googologów interesuje się \(\textrm{ZFC}\) teorią mnogości. Przy założeniu, funkcja Rayo przerasta wszystkie funkcje definiowalne w teorii zbiorów \(\textrm{ZFC}\). W tym artykule zawsze używamy tego samego założenia, z wyjątkiem sekcji aksjomatów, która dokładniej wyjaśnia kwestię braku wyjaśnienia teorii zbiorów drugiego rzędu.

funkcja Rayo jest jedną z najszybciej rozwijających się funkcji, jakie kiedykolwiek pojawiły się w profesjonalnej matematyce; tylko kilka funkcji, zwłaszcza jej rozszerzenie, ryba numer 7 ją przewyższa. Ponieważ funkcja Rayo wykorzystuje trudną matematykę, istnieje kilka prób jej uogólnienia, które kończą się niepowodzeniem. Na przykład uznano, że funkcja stopy (teoria oodle ’ a pierwszego rzędu) również ją przewyższa, ale jest ona źle zdefiniowana.

definicja

niech \(\) i \ ( \ ) będą formułami kodowanymi przez Gödela, A \(s\) I \(t\) będą przypisaniami zmiennych. Zdefiniuj \(\text{Sat} (, s)\) w następujący sposób:

\(\tekst{Rayo} (n)\) jest zatem najmniejszą liczbą większą od wszystkich liczb Rayo-namowalnych w symbolach \(n\).

zauważ, że x_i w t(xi) ∈ t(xj) i t(xi) = t(xj) w definicji \(\text{Sat}\) powyżej były x_1 w oryginalnej definicji. Chociaż x_1 jest jedyną wolną zmienną, która może występować w nazwie Rayo, to przypisanie zmiennej dla x_i jest w rzeczywistości określone w zadaniu ∃-fourmulae. Dlatego też oryginalna definicja nie działała tak, jak Rayo zamierzał i została zaktualizowana przez samego Rayo. (Pobrano 19/05/2020)

Wyjaśnienie 1

istnieje wiele terminologii logiki formalnej w zależności od autorów. Wyjaśniamy jedną z takich terminologii. Język formalny jest zbiorem stałych symboli terminowych, zmiennych symboli terminowych indeksowanych liczbami naturalnymi, symbolami funkcyjnymi i symbolami relacji. Formuła w języku formalnym \(L\) jest formalnymi ciągami zbudowanymi ze stałych symboli term w \(L\), zmiennych symboli term w \(L\), symboli funkcyjnych w \(L\), symboli relacji w \(L\), kwantyfikatorów i łączników logicznych po określonej składni.

interpretacja wzorów w \(L\) jest mapą, która przypisuje stałą do każdego symbolu wyrażenia stałego, funkcję do każdego symbolu funkcji i relację do każdego symbolu relacji. Biorąc pod uwagę interpretację wzorów w \(L\), każda zamknięta formuła w \(L’\) będzie oceniana jako PRAWDA lub fałsz, o ile predykat prawdy jest formalny, ponieważ odpowiada formule na parametry w \(V\). W szczególności, biorąc pod uwagę przypisanie zmiennej i interpretację, możemy zapytać, czy dana formuła w \(L\) jest prawdziwa czy fałszywa, o ile predykat prawdy jest formalny. Aby sformalizować orzeczenie prawdy, potrzebujemy wystarczająco silnej teorii mnogości. Na przykład teoria zbiorów ZFC nie nadaje się do tego celu.

Rayo zdefiniował bardzo specyficzny i abstrakcyjny język formalny wraz z kanonicznym wyborem interpretacji:

  • wzór atomowy „xa∈xb” oznacza, że zmienna ath jest elementem zmiennej bth.
  • wzór atomowy „xa=xb” oznacza, że zmienna ath jest równa zmiennej bth.
  • Formuła „(E)” dla Formuły e oznacza negację e.
  • Formuła „(E∧f)” dla formuł e i f oznacza koniunkcję(logiczne i) e i f.
  • formuła „∃xa (e) ” oznacza, że możemy modyfikować swobodne wystąpienie zmiennej ath, i.e. zastąp xa innym członkiem klasy \(V\) wszystkich zbiorów, w e tak, że Formuła e jest prawdziwa.

wzór atomowy jest specjalnym rodzajem wzoru.

jeśli formuła zwraca true, gdy przypisanie zmiennej jest do niej podłączone, mówimy, że przypisanie zmiennej „spełnia” tę formułę.

teraz dochodzimy do podstawowej koncepcji Rayo-nameability, ignorując ograniczenie długości:

istnieje formuła \(\phi\) taka, że wszystkie zadowalające przypisania zmiennych muszą mieć \(m\) jako pierwszy argument i istnieje co najmniej jedno takie przypisanie.

możemy kontynuować ten wzorzec, definiując każdą liczbę naturalną za pomocą tej metody. Pozwala nam na nazwanie liczby \(n\) w symbolach \(O(N^2)\). Przy większych wartościach możliwe jest definiowanie operacji rekurencyjnych, co pozwala nam określać coraz większe liczby za pomocą notacji zwartej. Biorąc pod uwagę wystarczająco dużą liczbę, ciąg Rayo, który definiuje wykładnik, potrzebowałby mniej symboli niż nasza naiwna technika.

zauważ, że symbol xn jest liczony jako pojedynczy symbol – nie powinien być dzielony na oddzielne symbole x i N.

mamy wszystkie elementy na miejscu, aby zdefiniować funkcję Rayo:

funkcja Rayo \(\text{Rayo} (n)\) jest zdefiniowana jako najmniejsza nieujemna liczba całkowita większa niż wszystkie nieujemne liczby całkowite Rayo-nameable w co najwyżej symbolach \(n\).

dlaczego funkcja Rayo jest nieskomplikowana? Używając mikrolęzyka Rayo można skonstruować zbiór, którego elementami są tzw. chwilowe opisy maszyny Turinga, a z tego jest to tylko mały krok do zdefiniowania funkcji Busy Beaver. Przy większym wysiłku można nawet skonstruować maszyny Turinga oracle i zdefiniować ich analogi funkcji Busy Beaver, co zrobił użytkownik Googology Wiki EmK.

przykładowe łańcuchy Rayo i ich wartości

Tak więc:

\begin{eqnarray*} \ text{Rayo}(0) &=& 0 \\\tekst{Rayo}(10) &\GE& 1 \\\text{Rayo}(30) &\GE& 2 \\\text{Rayo} (56) & \GE& 3 \ \ \ end{eqnarray*}

chociaż ten argument daje tylko niższe granice, dokładne wartości dla małych wartości są podawane przez użytkowników Googology Wiki Plain ’ N ’ imple i Emk:

\ begin{eqnarray*} \ text{Rayo}(0) &=& 0 \\\tekst{Rayo}(1) &=& 0 \\&\vdots& \ \ \ text{Rayo}(9) &=& 0 \\\tekst{Rayo}(10) &=& 1 \\\tekst{Rayo}(11) &=& 1 \\&\vdots& \ \ \ text{Rayo}(19) &=& 1 \\\end{eqnarray*}

funkcja Rayo ledwo ma tempo wzrostu pierwiastka kwadratowego dla małych wartości, ale jeśli dodamy tonę symboli, możemy reprezentować znacznie większe liczby.

So:

\ begin{eqnarray*} \ text{Rayo}(861) &>& 4 \\\tekst{Rayo}(926) &>& 16 \\\tekst{Rayo}(984) &>& 65536 \\\tekst{Rayo}(1026) &>& 2^{65536} \\\end{eqnarray*}

i tak dalej. Plain ’ N ’ Impple mówi również, że \(\text{Rayo} (10000) > 2\uparrow \ uparrow\uparrow65536\), choć nie daje dowodu.

Emk pokazał, że \(\text{Rayo} (7901) > \ text{S}(2^{65536} – 1)\), Gdzie \(\text{S} (n)\) jest funkcją maksymalnego przesunięcia.

Wyjaśnienie 2

otworzymy paradoksem Berry ’ ego:

niech x będzie najmniejszą liczbą naturalną większą niż wszystkie definiowalne w co najwyżej piętnastu angielskich słowach. Wtedy x można zdefiniować jako ” najmniejszą liczbę naturalną większą od wszystkich Definiowalnych w co najwyżej piętnastu angielskich wyrazach.”Właśnie zdefiniowaliśmy x używając co najwyżej piętnastu angielskich słów, więc x nie może być większy niż wszystkie liczby naturalne definiowalne w co najwyżej piętnastu angielskich słowach. Jest to sprzeczność.

źródłem paradoksu jest niejednoznaczność słowa „definiable”, a bardziej zasadniczo niejednoznaczność samego języka angielskiego. Funkcja Rayo omija te matematyczne grzechy, zastępując język angielski językiem zwanym teorią zbiorów pierwszego rzędu (FOST). FOST jest językiem logiki pierwszego rzędu z wszechświatem von Neumanna jako domeną. W szczególności, FOST jest zdolny do określania składu zbioru, kwantyfikacji nad wszechświatem i stosowania operatorów logicznych. Szczegóły dotyczące tego, jak to działa, podano powyżej.

naprawiamy lukę, która powoduje paradoks Berry ’ ego, co skutkuje następującą definicją Rayo (n), która jest:

najmniejsza liczba naturalna większa od wszystkich liczb naturalnych, które można jednoznacznie zidentyfikować za pomocą wyrażenia FOST co najwyżej n symboli

paradoks zniknął, ponieważ definiowalność została zastąpiona językiem formalnym. FOST podlega twierdzeniu Tarskiego o niedefiniowalności, które mówi, że nie możemy formalnie zdefiniować prawdy, nie mówiąc już o definiowalności, więc FOST nie może wywoływać FOST w sposób, w jaki angielski może wywoływać angielski.

aksjomat

aby zdefiniować liczbę naturalną za pomocą teorii mnogości, musimy ustalić, pod jakimi aksjomatami ją definiujemy. Problem w definicji liczby Rayo polega na tym, że Rayo nie wyjaśnił aksjomatów. W matematyce tradycyjnie pomijamy deklarację aksjomatów, w których pracujemy, o ile pracujemy w \(\textrm{ZFC}\) teorii zbiorów. Według tradycji kilku googologów uważa, że liczba Rayo jest zdefiniowana w \(\textrm{ZFC}\) teorii mnogości lub jest nieistotna dla aksjomatów, ale jest błędna.

co najmniej, ponieważ \(\textrm{ZFC}\) teoria zbiorów nie jest w stanie sformalizować orzeczenia prawdy we wszechświecie von Neumanna, liczba Rayo jest źle zdefiniowana w \(\textrm{ZFC}\) teorii zbiorów, chyba że zinterpretujemy definicję liczby Rayo pod względem udowodnienia. Nawet jeśli w ten sposób zinterpretujemy definicję, wynikająca z tego duża liczba nie będzie znacząco większa niż np. \(\Sigma(10^{100})\) (gdzie \(\Sigma\) jest zajętą funkcją bobra), ponieważ udowodnienie w teorii rekurencyjnie wyliczalnej z ograniczeniem długości jest rozstrzygalne przez maszynę Turinga. Aby wyjść znacznie poza funkcję Busy Beaver, musimy porzucić udowodnienie i mówić o prawdzie w konkretnym modelu, którego istnienie nie jest udowodnione w \(\textrm{ZFC}\) teorii zbiorów, o ile \(\textrm{ZFC}\) teoria zbiorów jest spójna.

z drugiej strony, FOST jest tylko językiem formalnym, który z definicji nie ma znaczenia dla aksjomatów, ale nie oznacza to, że liczba Rayo jest nieistotna dla aksjomatów. Nieistotność Fosta i aksjomatów lub relacja między zajętą funkcją bobra a opartą na dowodach interpretacją definicji liczby Rayo może być główną przyczyną nieporozumienia, że liczba Rayo jest nieistotna dla aksjomatów.

jak napisał Rayo, że używa teorii mnogości drugiego rzędu w celu sformalizowania prymitywnego słownictwa semantycznego w oryginalnym opisie, liczba Rayo jest zdefiniowana w pewnych aksjomatach teorii mnogości drugiego rzędu, które nie są wyjaśnione. Ważne jest wyjaśnienie aksjomatów w googologii nieskompromisowej, ponieważ niekompatybilne duże liczby można ze sobą porównywać tylko wtedy, gdy dzielą aksjomaty używane w ich definicjach. Na szczęście istnieje wiele możliwości wyboru aksjomatów teorii zbiorów drugiego rzędu, które pozwalają nam zdefiniować liczbę Rayo. Podsumowując, liczba Rayo jest dobrze zdefiniowana dla googologów, którzy nie dbają o wyjaśnienie aksjomatów, a jest źle zdefiniowana dla googologów, którzy dbają o wyjaśnienie aksjomatów. Dlatego ten artykuł należy do kategorii: niekompletne.

w 2020 r.Rayo dodał następujący nowy opis sposobu radzenia sobie z liczbą Rayo:

Uwaga: Filozofowie czasami zakładają realistyczną interpretację teorii zbiorów. W tej interpretacji wyrażenia teorii zbiorów mają” standardowe ” znaczenia, które określają określoną wartość prawdy dla każdego zdania języka, niezależnie od tego, czy w zasadzie można poznać te wartości prawdy. (Zobacz, na przykład, Ten artykuł Vann McGee.) Podczas konkursu Adam i ja uznaliśmy za pewnik, że język teorii zbiorów (drugiego rzędu) był interpretowany standardowo, co gwarantuje, że ostateczny zapis odpowiada liczbie określonej. Gdyby zamiast tego langauge był interpretowany na podstawie systemu aksjomatów, ostateczny zapis byłby nieważny. Dzieje się tak dlatego, że każda (spójna) aksjomatyzacja języka ma modele nieizomorficzne i nie ma gwarancji, że końcowy wpis będzie odpowiadał tej samej liczbie w odniesieniu do różnych modeli.

oznacza to, że Rayo rozważa filozoficzną ” interpretację „formuł teoretycznych zbiorów w odniesieniu do” prawdy ” w świecie rzeczywistym, która nie jest formalna w matematyce i nie zamierza konkretnego wyboru aksjomatów. Jest to jeden z rozsądnych kierunków googologii poza matematyką. Z drugiej strony, kwestia w ostatnim zdaniu wygląda na wymówkę, dlaczego uważają za pewnik nieformalizowalną „prawdę”, ale nie ma to sensu, ponieważ zależność wartości danej liczby od modelu jest nieistotna dla”nieważności”. W matematyce istnieje wiele dobrze zdefiniowanych pojęć, które nie są bezwzględne, tzn. zależą od modelu, np. unikalna liczba naturalna \(N\) \ ((\text{CH} \ to N=0) \land (\neg \text{CH} \to N=1)\). W googologii istnieje wiele dużych liczb, które zależą od modelu, np. wartości funkcji Busy Beaver, a zwłaszcza \(S(1919)\), gdzie \(S\) oznacza funkcję maksymalnego przesunięcia. W Duel big Number nie ma reguły zabraniającej liczby zależnej od modelu, a nawet pozwalającej na pominięcie poprawnych aksjomatów.

Historia

pojedynek na liczby Rayo i Elgi został zainspirowany konkursami na dużą liczbę opisanymi w artykule „Who Can Name the Bigger Number?”autorstwa Scotta Aaronsona.

W styczniu 2013 Adam P. Goucher stwierdził, że \(\text{Rayo} (n)\) rośnie wolniej niż jego xi funkcja. Twierdzenie to okazało się jednak błędne, ponieważ Goucher źle zrozumiał definicję funkcji Rayo jako „największej liczby całkowitej wyrażalnej jednoznacznie przez N symboli w arytmetyce pierwszego rzędu (język arytmetyki Peano).”. Arytmetyka drugiego rzędu jest znacznie silniejsza, a teoria zbiorów pierwszego rzędu jest jeszcze silniejsza. Domeną dyskursu arytmetyki pierwszego rzędu są liczby naturalne, ale domeną dyskursu teorii zbiorów pierwszego rzędu są zbiory całego wszechświata von Neumanna. W rzeczywistości można wykazać, że funkcja Rayo jest znacznie potężniejsza niż funkcja xi.

liczba Rayo była uznawana za największą liczbę nazwaną do 2014 roku, kiedy to zdefiniowano BIG FOOT, wykorzystując nieinwazyjne rozszerzenie teorii zbiorów n-tego rzędu, teorii oodle ’ a pierwszego rzędu. Zauważ, że naiwne rozszerzenia jak \(\text{FOST}^{100}(10^{100})\) gdzie używana jest notacja rekurencyjno-iteracyjna nie są honorowane jako bicie rekordu liczby Rayo. Chociaż liczba Rayo została wcześniej przekroczona w 2013 roku przez Fish number 7, dyskusyjne było, czy ta liczba była wystarczająco dobrym rozszerzeniem, aby zostać uhonorowanym jako pobicie rekordu. Jednak w 2018 roku Big FOOT okazał się źle zdefiniowany. Obecnie wszystkie największe liczby nazwane mają tę samą koncepcję funkcji Rayo, tzn. odnoszą się do namowalności liczb naturalnych, oraz wszystkich nieinwazyjnych rozszerzeń, takich jak funkcja FOOT.

Autor

numer został wymyślony przez Dr. Agustína Rayo, profesora lingwistyki i filozofii w Massachusetts Institute of Technology, gdzie otrzymał doktorat w 2001 roku.

Źródła

Zobacz też

  • numer Rayo na Wikipedii.
  • Busy Beaver
  • BIG FOOT
  • Little Bigeddon
  • Large Number Garden Number
  • Uncomputable function
duże liczby w komputerach
Główny artykuł: Liczby w arytmetyce komputerowej

127 · 128 · 256 · 32767 · 32768 · 65536 · 2147483647 · 4294967296 · 9007199254740991 · 9223372036854775807 · numery katalogowe FRACTRAN
bignum Bakeoff: pete-3.C * pete-9.C * pete-8.C * harper.c * ioannis.c * chan-2.c * chan-3.C * pete-4.C * chan.C * pete-5.C * pete-6.C * pete-7.c * marxen.C * loader.c
Systemy kanałowe: losowy system kanałowy · priorytetowy system kanałowy
funkcje Niekompatybilne: Funkcja Busy beaver * funkcja maksimum przesunięć * funkcja Doodle * Liczba Betti * funkcja Xi * ITTM busy beaver · Rayo(n) * stopa(n)
pojęcia: Rekurencja

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany.