waarom / Hoe is $PV = k$ waar in een ideaal gas?

er zijn waarschijnlijk verschillende manieren om dit te benaderen, maar ik denk dat een mooie eenvoudige manier is om het microscopische mechanisme dat druk produceert te overwegen.

stel je een bolvormige container voor met een straal van ongeveer $r$ met slechts één gasdeeltje erin. Ons gasdeeltje heeft een massa $ m$ en een snelheid $ v$.

 druk

wanneer het gasdeeltje de wanden van het vat raakt en weerkaatst, oefent het een kracht uit op de wanden van het vat. Dit is precies hetzelfde als wanneer ik een zwaar voorwerp naar je gooi zodat het voorwerp een kracht op je uitoefent als het je raakt. Om deze kracht te berekenen moet je weten dat de kracht hetzelfde is als de snelheid van verandering van momentum.

bij elke botsing verandert de snelheid van de deeltjes van $v$ naar $ – v$, dus verandert het momentum van $mv$ naar $ – mv$, dus is de momentumverandering $ \ Delta p = 2mv$.

de tijd die het deeltje nodig heeft om de bol te passeren is $\tau = 2r / v$, dus het aantal botsingen per seconde is $f = 1/\tau = v / 2r$.

en de snelheid iof verandering van momentum, d.w.z. de kracht ‘ is gewoon de momentumverandering per botsing $ \ Delta P$ keer het aantal botsingen per seconde $f$:

$$ F = \ Delta p f = 2mv \ frac{v}{2r} = \ frac{mv^2}{r} $$

en tot slot is druk kracht per oppervlakte-eenheid en het gebied van de bol is $4 \ pi r^2$, dus we eindigen met de vergelijking voor de druk:

$$ p = \frac{F}{A} = \frac{mv^2}{4 \ pi r^3} \tag{1} $$

nu vroeg je waarom de druk omgekeerd evenredig is met het volume? Nou, het volume van een bol is:

$$ V = \tfrac{4}{3} \ pi r^3 $$

en we kunnen dit in onze vergelijking (1) vervangen door:

$$ P = \frac{F}{A} = \frac{mv^2}{3V} \ tag{2} $$

dus we vinden dat $P \ propto 1 / V$.

als je geinteresseerd bent kunnen we beter dan dit omdat de equipartitie van energie vertelt dat de kinetische energie van het deeltje bij een temperatuur $T$ ongeveer $\tfrac{3}{2}kT$zal zijn. Dus we krijgen:

$$ \tfrac{1}{2}mv^2 = \tfrac{3}{2}kT $$

en we kunnen dit substituut gebruiken voor $mv^2$ in vergelijking (2) om te krijgen:

$$ P = \ frac{kT}{V} \ tag{3} $$

dus we hebben ook Guy-Lussac ‘ s wet $ p \ propto t$.

en er is nog een laatste stap. Dit alles was voor slechts één deeltje. Als we één mol gas hebben dan is dat$ N_a $ deeltjes, waar$ N_a $ Avagadro ‘ s nummer is. Elk deeltje draagt dezelfde momentumverandering bij, dus de totale kracht van al die deeltjes is gewoon:

$$ P = \ frac{N_a kT}{V} $ $

en het product $N_a k$ is gewoon de ideale gasconstante $R$ dus onze uiteindelijke vergelijking is:

$$ P = \ frac{RT}{V} $$

die u onmiddellijk moet herkennen als de ideale gaswet.

nu heb ik een vrij snelle en losse met deze afleiding en er allerlei bezwaren. De gasmoleculen hebben bijvoorbeeld een reeks snelheden en ze raken niet allemaal recht op de muren. Maar de geest van de afleiding is prima, zelfs als de details niet, en hopelijk helpt dit precies verklaren waarom de ideale gas wet heeft de vorm die het doet.

Geef een antwoord

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd.