Real-Verdsatt Funksjon

3 Aksiomatisk Induktiv Logikk

målet med aksiomatisk induktiv logikk er å finne generelle rasjonalitetsprinsipper som begrenser klassen av akseptable sannsynlighetstiltak. Den første aksiomatiske behandlingen av denne typen ble presentert Av W. E. Johnson (jf. ). Hans hovedresultater var uavhengig, og uten referanse til Ham, gjenoppdaget Av Kemeny Og Carnap i 1952-54(se).

for talsmenn for personlig sannsynlighet Er A1 den eneste generelle begrensningen av rasjonelle grader av tro. Det garanterer at sannsynligheter tjener som sammenhengende spillforhold. A2 utelukker at noen betinget singular setning har den tidligere sannsynligheten en. A3 tilsvarer De Finettis byttevilkår (jfr. ). Det innebærer at sannsynligheten P (Qi (an+1/e) avhenger av bevis e bare gjennom tallene n1,…, nK, slik at den er uavhengig av rekkefølgen for å observere individene i e. A4 sier At Q-predikatene er symmetriske: P (Qi) = 1 / K for alle i = 1,…, K. A5 Er Johnsons «tilstrekkelig postulat», Eller Carnaps «aksiom av prediktiv irrelevans». Det står at representativ funksjon P(Qi (an + 1 / e) er uavhengig av tallene nj,j ≠ i, av observerte individer i andre celler Enn Qi (så lenge summen n1 + … + nK = n).

var

λ=Kf(0,1)1−Kf(0,1).

hvis K = 2, krever beviset den ekstra antagelsen om at f er en lineær funksjon av ni. Saken λ = 0 er ekskludert Av A2. Ved å slippe A4,vil funksjonen f(ni, n) ha skjemaet (2′). Derfor ser vi at et vanlig og utskiftbart induktivt sannsynlighetsmål er Carnapian hvis og bare hvis det tilfredsstiller tilstrekkelig postulat A5. Spesielt tilfredsstiller Den tradisjonelle Bayesiske tilnærmingen Til Laplace med sannsynlighet c∗ A5.

Aksiom A5 er veldig sterk, siden det utelukker at prediktive singulære sannsynligheter P (Qi (an+1/enc) om neste forekomst avhenger av variasjonen av bevis, dvs. på tallet c Av celler Qi slik at ni > 0. Som antall universelle generaliseringer I L som bevis e forfalskninger er også en enkel funksjon av c, aksiom A5 gjør induksjon rent enumerative og utelukker eliminative aspekter av induksjon(se). Vi har allerede sett at Representativ funksjon (22) Av Hintikkas generaliserte kombinerte system er avhengig av c. carnaps manglende evne til å håndtere induktiv generalisering er dermed en ulykkelig konsekvens av bakgrunnsforutsetningen A5.

Carnap-Kemeny-aksiomatiseringen Av Carnaps λ-kontinuum ble generalisert Av Hintikka Og Niiniluoto i 1974, som tillot at den induktive sannsynligheten (2) av neste tilfelle er Av Type Qi avhenger av den observerte relative frekvensen ni av typen Qi Og på tallet c av forskjellige typer individer i prøven e (se ):

A6 c-prinsipp: det er en funksjon f slik At P(Qi(an+1/enc)=f(ni,N,C)

her λ > – k og

(26)0<yc ≤ λ/Kc + λ

Derfor

P (CK)=1iffyi=δ = 1,…, K-1.

Carnaps λ er Med andre ord Det eneste spesielle tilfellet Av det K-dimensjonale systemet som ikke tilskriver ikke – null sannsynligheter til noen universelle generaliseringer. Igjen viser Carnaps systemer seg å være partisk i den forstand at Den tildeler a priori sannsynligheten en til den atomistiske bestanddelen CK som hevder at Alle Q-predikater skal instansieres i univers U.

reduksjonen av alle induktive sannsynligheter til k-parametere, som gjelder sannsynligheter for svært enkle entallspådommer, gir Et motargument til Wolfgang Stegmü påstand om At Det ikke «gir mening» å satse på universelle generaliseringer (jf. ). I det k-dimensjonale systemet er et spill på en universell lov ekvivalent med et system Med K-spill på singulære setninger på endelige bevis.

parameteren yc = f(0,c,c) uttrykker den prediktive sannsynligheten for å finne en ny type individ etter c forskjellige suksesser. For slike bevis e nærmer Den bakre sannsynligheten For Cc en når yc nærmer seg null. Videre reduseres P(Cc) når yc øker. Parameter yw tjener dermed som en forsiktighetsindeks for bestanddeler av bredde w. Mens Hintikkas todimensjonale system har en indeks α av generell pessimisme om bestanddelens sannhet Cw, w < K, i K-dimensjonale systemet er det en egen indeks av pessimisme for hver bredde w < K.

Det k-dimensjonale systemet tillater mer fleksible fordelinger av tidligere sannsynligheter av bestanddeler enn Hintikkas α − λ kontinuum. For eksempel kan prinsippet (19) bli brutt. Man kan dele tidligere sannsynlighet like først til setninger Sw (w = 0,…, K) som sier at det er w-typer individer i universet. Slike «konstituerende strukturer» Sw er disjunctions av (wK) bestanddeler Cw av bredde w. dette forslaget ble gjort Av Carnap i sin kommentar Til Hintikkas system (se ; jf. ).

Forutsatt at parametrene yc ikke har Sine Carnapian-verdier, kan man vise

(27)P(Qi(an+1)/e& Cw) = ni + λ / Kn+wλ / K.

sammenligning med formel (15) viser at i skjæringspunktet Mellom det k-dimensjonale systemet og Hintikkas α-system inneholder sistnevnte medlemmer som tilfredsstiller betingelsen at λ som funksjon av w er lik aw for en viss konstant a > 0,3 tilfellet med a = 1 er Hintikkas generaliserte kombinerte system (jf. (15′)). Denne nye måten å motivere dette systemet viser sin naturlighet. Forholdet mellom ulike induktive systemer studeres i detalj Av Theo Kuipers .4

det følger av (27) At Det k-dimensjonale systemet tilfredsstiller Reichenbachs Aksiom (3) og Instantial Positiv Relevans (4).

den grunnleggende tilstrekkelighet tilstand(13) av induktiv generalisering er oppfylt når parametrene yi er valgt mer optimistisk enn Deres Carnapian verdier:

(28)Ifyi<δ,fori=c,…,K−1,thenp(Cc/e)→1når → ∞ ogisfast.

dette resultatet viser igjen At Det mye omtalte resultatet Av Carnaps λ-kontinuum, nemlig. null bekreftelse av universelle lover, er virkelig en tilfeldig funksjon av et system av induktiv logikk. Vi kvitter oss med denne funksjonen ved å svekke λ-prinsippet A5 til c-prinsippet A6.

Legg igjen en kommentar

Din e-postadresse vil ikke bli publisert.