Rayo’ s number

en bruker har bedt om halvbeskyttelse av denne siden i 1 år. Årsaken er: nylig vandalisert.

Rayos tall er et av de største navngitte tallene, laget i et stort antall kamp mot Adam Elga. Rayo tall Er, I Rayo egne ord, » den minste positive heltall større enn noen endelig positivt heltall navngitt av et uttrykk i språket av første ordens sett teori med googol symboler eller mindre.»

selv om den andre ordens settteori var uspesifisert i den opprinnelige definisjonen og er avklart som den filosofiske (men matematisk dårlig definerte) samlingen av formler som den virkelige verden filosofisk «tilfredsstiller», er det rimelig å anta at \(\textrm{ZFC}\) settteori er et førsteordens segment av den uspesifiserte settteori fordi flertallet av matematikere og googologer er interessert i \(\textrm{ZFC}\) settteori. Under antagelsen vokser Rayos funksjon alle funksjoner som er definerbare i\ (\textrm{ZFC}\) settteori. Gjennom denne artikkelen bruker vi alltid samme antagelse bortsett Fra Aksiom-delen som dypere forklarer problemet om mangelen på avklaring av andre ordens settteori.

Rayos funksjon er en av de raskest voksende funksjonene som noen gang har oppstått i profesjonell matematikk; Bare noen få funksjoner, spesielt utvidelsen, Fisk nummer 7 overgår Den. Siden Rayos funksjon bruker vanskelig matematikk, er det flere forsøk for å generalisere det som resulterer i feil. FOR eksempel BLE FOTEN (førsteordens oodle theory)-funksjonen også ansett å overgå den, men den er dårlig definert.

Definisjon

La \(\) Og \ ( \ ) være Gö-kodede formler og \(s\) og \(t\) være variable oppgaver. Definer \(\text{Sat} (, s)\) som følger:

\(\tekst{Rayo} (n)\) er da det minste tallet større enn Alle tall Rayo-namable i\ (n\) symboler.

Merk at x_i er i t(xi) ∈ t(xj) og t(xi) = t(xj) i definisjonen av \(\text{Sat}\) ovenfor var x_1 i den opprinnelige definisjonen. Selv om x_1 er den eneste frie variabelen som tillates å forekomme I Et Rayo-navn, er variabeloppdraget for x_i faktisk referert til i tilfredsheten til ∃-fourmulae. Derfor den opprinnelige definisjonen fungerte ikke Som Rayo faktisk ment, Og Har blitt oppdatert Av Rayo selv. (Hentet 19/05/2020)

Forklaring 1

det er mange terminologier av formell logikk avhengig av forfattere. Vi forklarer en av slike terminologier. Et formelt språk er et sett med konstante termsymboler, variable termsymboler indeksert av naturlige tall, funksjonssymboler og relasjonssymboler. En formel i et formelt språk \(L\) er formelle strenger bygget fra konstante termsymboler i \(L\), variable termsymboler i\ (L\), funksjonssymboler i\ (L\), relasjonssymboler i\ (L\), kvantifiserere og logiske koblinger etter en bestemt syntaks.

en tolkning av formler i \(L\) er et kart som tilordner en konstant til hvert konstant termsymbol, en funksjon til hvert funksjonssymbol og et forhold til hvert relasjonssymbol. Gitt en tolkning av formler i \(L\), vil hver lukket formel i \(L’\) bli vurdert som sann eller falsk så lenge et sannhetspredikat er formaliserbart, fordi det tilsvarer en formel på parametere i \(V\). Spesielt gitt en variabel oppgave og en tolkning, kan vi spørre om en gitt formel i \(L\) er sann eller falsk så lenge et sannhetspredikat er formaliserbart. For å formalisere et sannhetspredikat trenger vi en tilstrekkelig sterk settteori. FOR EKSEMPEL ER ZFC settteori ikke egnet for dette formålet.

Rayo definerte et svært spesifikt og abstrakt formspråk sammen med et kanonisk valg av tolkning:

  • en atomformel «xa∈xb» betyr at ath-variabelen er et element av bth-variabel.
  • en atomformel «xa=xb» betyr at ath-variabelen er lik bth-variabelen.
  • en formel «(e) » for en formel e betyr negasjonen av e.
  • en formel «(e∧f)» for formler e og f betyr sammenhengen (den logiske og) av e og f.
  • en formel «∃xa(e)» betyr at vi kan endre den frie forekomsten av ath-variabelen, i.e. erstatt xa av et annet medlem av klassen \(V\) av alle sett, i e slik at formelen e er sant.

en atomformel er en spesiell form for en formel.

hvis en formel returnerer sann når en variabel tildeling er koblet til den, sier vi at variabeltildelingen «tilfredsstiller» den formelen.

nå kommer vi til kjernebegrepet Rayo-nameability, ignorerer lengdebegrensningen:

Det er en formel \(\phi\) slik at alle tilfredsstillende variable oppgaver må ha \(m\) som deres første argument, og det er minst en slik oppgave.

Vi kan fortsette med dette mønsteret, og definere hvert naturlig tall ved hjelp av denne metoden. Det tillater oss å nevne tallet \(n\) i\ (O (n^2)\) symboler. Med større verdier er det mulig å definere rekursive operasjoner, slik At Vi Kan Rayo-navn større og større tall ved hjelp av kompakt notasjon. Gitt et tilstrekkelig stort antall, Vil En Rayo-streng som definerer eksponering trenge mindre symboler enn vår naï-teknikk.

Merk at symbolet xn regnes som et enkelt symbol – det skal ikke deles inn i separate symboler x og n.

Vi har alle brikkene på plass for å definere Rayos funksjon:

Rayos funksjon \(\text{Rayo}(n)\) er definert som det minste ikke-negative heltallet større Enn Alle Ikke-negative heltall Rayo-nameable i de fleste\ (n\) symboler.

Hvorfor Er Rayos funksjon uforanderlig? Ved Hjelp Av Rayos mikrolanguage kan man konstruere et sett hvis elementer er såkalte øyeblikkelige beskrivelser Av En Turing-maskin, og fra dette er det bare et lite skritt å definere Opptatt Bever-funksjon. Med mer innsats kan man til og med konstruere oracle Turing-maskiner og definere deres analoger Av Busy Beaver-funksjonen, som Googology Wiki user EmK har gjort.

Eksempel Rayo strenger og deres verdier

Således:

\ begin{eqnarray*} \ text{Rayo}(0) &=& 0 \\\tekst{Rayo}(10) & \ge &1 \\\tekst{Rayo}(30) &\ge&2 \\\tekst{Rayo}(56) &\ge& 3 \\end{eqnarray*}

selv om Dette argumentet bare gir lavere grenser, er de nøyaktige verdiene for små verdier gitt Av Googology Wiki-brukere Plain ‘ N ‘ Simple og Emk:

\ begynne{eqnarray*} \ tekst{Rayo}(0) &=& 0 \\\tekst{Rayo}(1) &=& 0 \\&\vdots& \ \ \ tekst{Rayo}(9) &=& 0 \\\tekst{Rayo}(10) &=& 1 \\\tekst{Rayo}(11) &=& 1 \\&\vdots& \ \ \ tekst{Rayo}(19) &=& 1 \\\end{eqnarray*}

Rayo-funksjonen har knapt kvadratrotvekst for små verdier, men hvis vi legger til massevis av symboler, kan vi representere mye større tall.

Så:

\ begynne{eqnarray*} \ tekst{Rayo}(861) &>& 4 \\\tekst{Rayo}(926) &>& 16 \\\tekst{Rayo}(984) &>& 65536 \\\tekst{Rayo}(1026) &>& 2^{65536} \\\slutt{eqnarray*}

Og så videre. Plain ‘ N ‘ Simple sier også at \(\text{Rayo}(10000) > 2\uparrow\uparrow\uparrow65536\), selv om han ikke gir et bevis.

Emk har vist at \(\text{Rayo} (7901) > \ text{S}(2^{65536} – 1)\), hvor \(\text{s}(n)\) er maksimal skift-funksjonen.

Forklaring 2

vi åpner Med Berrys paradoks:

La x være det minste naturlige tallet større enn alle de definerbare i maksimalt femten engelske ord. Da x kan defineres som «den minste naturlige tall større enn alle de definerbare i høyst femten engelske ord.»Vi har nettopp definert x med maksimalt femten engelske ord, så derfor kan x ikke være større enn alle naturlige tall som kan defineres på maksimalt femten engelske ord. Dette er en motsetning.

kilden til paradokset er tvetydigheten av ordet «definerbar», og mer fundamentalt tvetydigheten til det engelske språket selv. Rayos funksjon omgår disse matematiske synder ved å erstatte engelsk med språket kalt førsteordens settteori (FOST). FOST er språket for førsteordens logikk med von Neumann-universet som domenet. Spesielt er FOST i stand til å bestemme sett medlemskap, kvantifisere over universet, og bruke logiske operatører. Nitty-gritty detaljer om hvordan dette fungerer er gitt ovenfor.

vi løser smutthullet som forårsaker Berrys paradoks, noe som resulterer i følgende definisjon Av Rayo (n), som er:

det minste naturlige tallet større enn alle naturlige tall som unikt kan identifiseres ved ET FOST-uttrykk for høyst n symboler

paradokset er borte nå fordi definerbarheten er erstattet med et formelt språk. FOST er underlagt Tarskis undefinability theorem, som sier at vi ikke formelt kan definere sannhet, enn si definabilitet, så FOST kan ikke påberope fost måten engelsk kan påberope engelsk.

Aksiom

for å definere et naturlig tall ved hjelp av settteori, må vi fikse under hvilke aksiomer vi definerer det. Et problem i definisjonen Av Rayo nummer er At Rayo ikke avklare aksiomene. I matematikk utelater vi tradisjonelt erklæringen av aksiomene der vi jobber så lenge vi jobber i\ (\textrm{ZFC}\) settteori. Ifølge tradisjonen tror flere googologer At Rayos tall er definert i\ (\textrm{ZFC}\) settteori, eller er irrelevant for aksiomer, men det er feil.

i det minste, siden \(\textrm{ZFC}\) settteori ikke er i stand til å formalisere sannhetspredikat ved von Neumann-universet, Er Rayos tall dårlig definert i \(\textrm{ZFC}\) settteori med mindre vi tolker definisjonen Av Rayos tall i form av bevisbarhet. Selv om vi tolker definisjonen på den måten, vil det resulterende store tallet ikke være betydelig større enn for eksempel \(\Sigma(10^{100})\) (hvor\ (\Sigma\) er busy beaver-funksjonen) fordi provability i en rekursivt enumerable teori med en begrensning av lengden er decidable Av En Turing maskin. For å komme betydelig utover Den Travle Bever-funksjonen, må vi forlate bevisbarhet og snakke om sannhet i en bestemt modell, hvis eksistens ikke er bevisbar under\ (\textrm{ZFC}\) settteori så lenge\ (\textrm{ZFC}\) settteori er konsistent.

PÅ den annen side ER FOST bare et formelt språk, som er irrelevant for aksiomer ved definisjonen, men Det betyr ikke At Rayos tall er irrelevant for aksiomer. Irrelevansen AV FOST og aksiomer eller forholdet mellom Busy Beaver-funksjonen og den bevisbaserte tolkningen av definisjonen Av Rayos tall kan være hovedårsakene til misforståelsen at Rayos tall er irrelevant for aksiomer.

Da Rayo skrev at Han bruker andreordens settteori for å formalisere det primitive semantiske vokabularet i den opprinnelige beskrivelsen, Er Rayos tall definert under visse aksiomer av andreordens settteori, som ikke er avklart. Det er viktig å klargjøre aksiomer i uforanderlig googologi, fordi uforanderlige store tall kun kan sammenlignes med hverandre når de deler aksiomer som brukes i definisjonene. Heldigvis er det mange valg av aksiomer av andre ordens settteori som gjør Det mulig for Oss å definere Rayos nummer. Som en konklusjon Er Rayos nummer veldefinert for googologer som ikke bryr seg om avklaring av aksiomer og er dårlig definert for googologer som bryr seg om avklaring av aksiomer. Det er derfor denne artikkelen tilhører Kategori: Ufullstendig.

I 2020 la Rayo til følgende nye beskrivelse av Måten Å håndtere Rayos nummer:

Merk: Filosofer antar noen ganger en realistisk tolkning av settteori. På denne tolkningen har setteoretiske uttrykk «standard» betydninger, som bestemmer en bestemt sannhetsverdi for hver setning i språket, uansett om det i prinsippet er mulig å vite hva disse sannhetsverdiene er. (Se for eksempel Denne artikkelen Av Vann McGee.) Under konkurransen tok Adam Og Jeg for gitt at langauge av (andreordens) setteori ble tolket standard, noe som garanterer at den endelige oppføringen tilsvarer et bestemt antall. Hvis langauge i stedet hadde blitt tolket på grunnlag av et aksiomsystem, ville den endelige oppføringen vært ugyldig. Dette skyldes at hver (konsekvent) aksiomatisering av språket har ikke-isomorfe modeller, og det er ingen garanti for at den endelige oppføringen vil svare til samme nummer med hensyn til forskjellige modeller.

Dette betyr At Rayo vurderer en filosofisk » tolkning «av settteoretiske formler med hensyn til» sannheten » i den virkelige verden, som er uformaliserbar i matematikk, og ikke har til hensikt et bestemt valg av aksiomer. Det er en av rimelige retninger av googologi utenfor matematikk. På den annen side ser problemet i siste setning ut som en unnskyldning om hvorfor de tar den uformaliserbare «sannheten» for gitt, men det gir ikke mening fordi avhengigheten av verdien av et gitt tall på en modell er irrelevant for»ugyldigheten». I matematikk er det mange veldefinerte forestillinger som ikke er absolutte, dvs. avhenger av en modell, for eksempel det unike naturlige tallet \(n\) tilfredsstillende \((\text{CH} \til n=0) \land (\neg \text{CH}\til n=1)\). I googologi er det mange store tall som er avhengige av en modell, for eksempel verdier Av Opptatt Beaver-funksjon og spesielt \(S(1919)\), hvor \(S\) betegner maksimal Skiftfunksjon. I Big Number Duel, det er ingen regel som forbyr et tall som avhenger av en modell, og faktisk det selv lov til å hoppe for å fikse aksiomer.

Historie

rayo og Elgas tallduell ble inspirert av de store tallkonkurransene beskrevet i artikkelen » Hvem Kan Nevne Det Største Tallet?»Av Scott Aaronson.

I januar 2013 hevdet Adam P. Goucher at\ (\tekst{Rayo} (n)\) vokser langsommere enn hans xi-funksjon. Imidlertid viste påstanden seg å være feil, fordi Goucher misforstod definisjonen Av Rayos funksjon som » det største heltallet som uttrykkes unikt ved n symboler i første ordens aritmetikk (Språket Til peano aritmetikk).». Den andre ordens aritmetikk er mye sterkere, og førsteordens settteori er enda sterkere enn det. Førsteordens aritmetikkens diskursdomene er de naturlige tallene, men førsteordens settteoriens diskursdomene er definert som sett av hele von Neumann-universet. Faktisk kan Det vises At Rayos funksjon er mye kraftigere enn xi-funksjonen.

Rayos tall ble hedret som det største navngitte tallet frem til 2014 DA BIG FOOT ble definert, ved hjelp av en ikke-naiv forlengelse av n – th-ordens settteori, den første ordens oodle-teorien. Merk at naive utvidelser som \(\text{FOST}^{100}(10^{100})\) hvor rekursjon / iterasjon notasjon brukes er ikke æret som å bryte posten Av Rayo nummer. Selv Om Rayos nummer tidligere ble overgått I 2013 Av Fish nummer 7, var Det diskutabelt om dette nummeret var en god nok utvidelse til å bli æret som å bryte rekorden. BIG FOOT viste seg imidlertid å være dårlig definert i 2018. For Tiden deler alle de største navngitte tallene Det samme konseptet Av Rayos funksjon, dvs. refererer til namability av naturlige tall, og alle ikke-naive utvidelser som FOTFUNKSJONEN.

Forfatter

tallet ble oppfunnet Av Dr. [email protected] Rayo, Førsteamanuensis I Lingvistikk og Filosofi Ved Massachusetts Institute of Technology hvor han fikk Sin Ph. D. i 2001.

Kilder

Se også

  • Rayos nummer På Wikipedia.
  • Opptatt Bever
  • BIG FOOT
  • Little Bigeddon
  • Stort Antall Hage Nummer
  • Uforanderlig funksjon
Store tall i datamaskiner
Hovedartikkel: Tall i datamaskin aritmetikk

127 · 128 · 256 · 32767 · 32768 · 65536 · 2147483647 · 4294967296 · 9007199254740991 · 9223372036854775807 · FRACTRAN katalognummer
bignum Bakeoff deltakere: pete-3.c * pete-9.c * pete-8.c * harper.c * ioannis.c * chan-2.c * chan-3.c * pete-4.c * chan.c * pete-5.c * pete-6.c * pete-7.c * marxen.c * laster.C
Kanalsystemer: lossy kanalsystem * prioritert kanalsystem
Uforanderlige funksjoner: Opptatt bever funksjon * Maksimal skift funksjon * Doodle funksjon * Betti nummer * Xi funksjon * ITTM opptatt bever * Rayo · n) * FOT (n)
Konsepter: Rekursjon

Legg igjen en kommentar

Din e-postadresse vil ikke bli publisert.