빔의 굽힘

5.2 대칭 단면의 빔의 순수 굽힘

순수 굽힘의 가장 간단한 경우는 대칭의 수직축을 갖는 빔의 경우이며,동일 및 대향 단부 커플을 받는다(그림. 5.1 아). 이 문제를 분석하기 위해 반 역 방법이 적용됩니다. 순간 미디엄 지 그림에 표시된. 5.1 ㅏ 정의하다 양수,긍정적 인(부정적인)얼굴에 작용하기 때문에 벡터는 긍정적 인(부정적인)좌표 방향으로. 이 서명 협약은 스트레스의 협약에 동의합니다(섹션 1.5). 단면에 대한 일반 응력은 다음과 같이 선형으로 변화하고 나머지 응력 성분은 0 이라고 가정합니다:

그림 5.1. (가)순수 굽힘에 단독으로 대칭 단면의 빔;(비)빔의 단면에 걸쳐 응력 분포.

여기서 케이 상수이고 와이=0 은 중성 표면을 포함합니다—즉,중성 표면과 단면의 교차점이 중립 축을 찾습니다(약칭 없음). 그림 5.1 비 왼쪽 끝에서 임의의 거리에 위치한 섹션의 선형 응력 필드를 보여줍니다.

(5.1)는 측면이 긴장의 자유롭다는 것을,우리 단지 긴장이 끝에 경계 조건으로 일치한다는 것을 확실할 필요가 있습니다 나타냅니다. 이러한 평형 조건은 내부 힘의 결과가 0 이되고 중립 축에 대한 내부 힘의 모멘트가 적용된 모멘트

임을 요구합니다. 참고 제로 스트레스 구성 요소 (5.1)조건을 만족 없음 와이-과 지-지시 된 힘 끝면에 존재합니다. 또한,때문에 와이 대칭 의 섹션,2020=켄터키 에 대해 아무 순간도 생성하지 않습니다. 두 번째 식에서 음수 부호는 양수 모멘트 미디엄 에스 그 결과 압축(음수)스트레스 점에서 긍정적 인 와이. (5.1)식에. (5.2)수익률

이후 케이 0,식. (5.3)는 중립 축에 대한 단면적의 첫 번째 모멘트가 0 임을 나타냅니다. 이를 위해서는 단면의 중립 축과 중심 축이 일치해야합니다. 몸의 힘을 무시하면 평형 방정식(3.4)이 식에 의해 만족된다는 것이 분명합니다. (5.1). 또한 쉽게 그 질문을 확인할 수 있습니다. (5.1)후크의 법칙과 함께 호환성 조건을 충족,식. (2.12). 따라서,식. (5.1)정확한 솔루션을 나타냅니다.

식의 적분. 따라서,

정상 응력에 대한 표현식은 이제 방정식을 결합하여 작성할 수 있습니다. (5.1)및(에이):

이것은 똑바른 광속에 적용 가능한 친밀한 탄력 있는 굴곡 공식입니다.

주어진 섹션에서 미디엄 과 나는 일정하며 최대 응력은 식에서 얻습니다. (5.4)|와이|최대=씨:

여기서 에스 이다 탄성 섹션 계수. 방정식(5.5)은 단순성 때문에 실제로 널리 사용됩니다. 사용을 용이하게하기 위해 수많은 공통 섹션에 대한 섹션 모듈이 다양한 핸드북에 표로 표시됩니다. 극단적 인 섬유에서 가상의 스트레스,식에서 계산. (5.5)실험적으로 얻어진 궁극적 인 굽힘 모멘트(섹션 12.7)는 구부리기에 있는 물자의 파열의 계수,불립니다. 이 수량은 다음과 같습니다.최대=뮤/초,재료의 굽힘 강도의 척도로 자주 사용됩니다.

5.2.1 운동 학적 관계

빔 문제에 대한 추가 통찰력을 얻기 위해 이제 변형의 기하학,즉 빔 운동학을 고려합니다. 이 토론에 근본적인 가설은 섹션 원래 평면 남아 그래서 벤딩 이후. 대칭 단면의 빔,후크의 법칙과 식. (5.4)리드

여기서 이즈는 굴곡 강성.

축 변형이 0 인 빔 축의 편향을 살펴 보겠습니다. 그림 5.2 에이 변형 된 상태에있는 초기 직선 빔의 요소를 보여줍니다. 광속이 순수한 구부리기,획일한 처음부터 끝까지 복종되기 때문에,극소 길이의 각 성분은 광속 곡률이 어디에나 동일하다는 것을 결과로 동일한 개악을,경험합니다. 따라서 빔의 편향된 축 또는 편향 곡선이 변형되어 곡률 반경이 수신됩니다. 평면에서의 빔 축의 곡률은 다음과 같습니다.

그림 5.2. (에이)구부러진 빔의 세그먼트;(비)변형의 형상.

여기서 대략적인 형태는 작은 변형에 유효합니다. 빔 축의 곡률에 대한 부호 규칙은 그림과 같이 빔이 아래쪽으로 오목하게 구부러 질 때이 부호가 양수가되도록합니다.

도 1 의 형상에 도시된 바와 같이. 5.2 비,음영 섹터는 유사하다. 따라서 곡률 반경과 변형은 다음과 같이 관련됩니다:

여기서 디에스는 빔의 종 방향 축을 따라 아크 길이 미네소타이다. 작은 변위의 경우,디에스 디에스 디에스 디에스 디에스 디에스 디에스 및 디에스 디에스 빔축의 기울기를 나타냅니다. 분명히,도 1 에 도시 된 양의 곡률. 5.2 에이,우리가 빔 축을 따라 왼쪽에서 오른쪽으로 이동함에 따라 2,000,000,000,000,000 증가. 식의 기초. (5.6)및(5.8),

빔의 편향 곡선의 기본 방정식은 방정식을 결합하여 얻을 수 있습니다. (5.7)및(5.9)다음과 같이:

빔 곡률을 굽힘 모멘트와 관련시키는이 표현은 기본 굽힘 이론의 베르누이—오일러 법칙으로 알려져 있습니다. 그것은 그림 1 에서 관찰된다. 5.2 및 식. (5.10)긍정적 인 순간이 긍정적 인 곡률을 생성한다는 것. 이 섹션에서 모멘트 또는 편향(및 곡률)에 대해 채택 된 부호 규칙이 반전되면 더하기 기호 에 식. (5.10)마찬가지로 반전해야합니다.

도 1 에 대한 참조. 5.2 에이 상단 및 하단 측면 표면이 안장 모양 또는 반탄성 곡률 1/루즈 표면으로 변형되었음을 나타냅니다. 수직 측은 구부리기의 결과로 동시에 자전했습니다. 식 검사. (5.9 비)푸아송의 비율을 결정하는 방법을 제안합니다. 빔의 깊이가 너비와 비슷할 때 반탄성 곡률의 효과는 작습니다.

5.2.2 티모셴코 빔 이론

20 세기 초 티모셴코가 개발 한 티모셴코 빔 이론은 오일러-베르누이 이론보다 개선 된 것으로 구성된다. 정적 인 경우,두 가설의 차이는 전자는 빔 높이에 대한 일정한 전단을 가정하여 변형에 대한 전단 응력의 영향을 포함하는 반면 후자는 빔 변형에 대한 가로 전단의 영향을 무시한다는 것입니다. 티모셴코 이론은 또한 평면 섹션이 변형 된 빔 축에 평면과 정상으로 유지된다는 가정을 완화하면서 가로 전단 변형의 효과를 허용하는 일반 빔 이론의 확장이라고합니다.

티모셴코 빔 이론은 짧은 빔과 샌드위치 복합 빔의 거동을 설명하는 데 적합합니다. 동적인 경우에,이론은 가위 개악 뿐 아니라 회전 관성 효력을 통합하고,아주 가냘픈 광속을 위해 더 정확할 것입니다. 변형 메커니즘을 효과적으로 고려함으로써 티모셴코의 이론은 빔의 강성을 낮추고,그 결과 정적 하중 하에서 더 큰 편향과 규정 된 경계 조건에 대해 예측 된 기본 진동 주파수를 낮 춥니 다.

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