二次成長は一般的な現象ですか?

人口統計に関する私の投稿に疲れているなら、リラックスしてください:私が以下で開発するのは、そもそも人口増加に関するものではなく、経済成長 ここに質問があります:

このグラフを見てください。 何が見える?

多くの人々が答えます:これは指数関数的な成長です!

しかし、私はあなたをだましました。 あなたが見るのは二次関数です。 直感的なレベルでは、このように指数関数的な成長を識別します: 関数が上がり、その傾きも上に上がります。 関数は、より速く、より速く成長します。 したがって、これは指数関数でなければなりません! しかし、すべての基準は二次関数にも適用されます:x2。 その導関数は2*xであり、これは傾きが常に正であり、関数が成長するにつれて増加することを意味します。

私があなたを欺くことができるさらなる理由は、私が最初に経済成長と人口増加について書いたので、おそらく指数関数を見ることを期待してい これがgo-toモデルであることは明らかだからです。

しかし、私が人口動態について主張してきたように、二次人口増加は指数関数的成長よりも成長段階ではるかにもっともらしいモデルです。 また、経験的データは、指数関数的成長よりも二次的に一致して定期的に優れています。 しかし、私が最初に気づいていなかったのは、この観察が人口統計を超えてはるかに広い意味を持つかもしれないということでした。 あなたが経済成長を解釈しているとき。

二次関数と指数関数の差は次のようになります: あなたは、すなわち、成長率を計算する場合。 勾配を取って値で除算すると、指数関数の場合、これは定数です:

勾配にはexp’(r*x)=r*exp(r*x)があります。

exp(r*x)で除算した後、常にrを取得します。

しかし、二次関数x2の場合、傾きは2*xであり、x2で除算した後、無限大に行くとゼロになる双曲線である成長率の2/xが得られます。 言い換えれば、指数関数は常に同じ速度で成長しますが、二次関数はゼロになる成長率を持ちます。 しかし、ゼロから遠く離れて、成長率は非常にゆっくりと減少します。 ゼロになるまでには無限に時間がかかります。 したがって、ゼロから離れた有限の間隔では、これはほぼ定数になる可能性があり、指数関数を持っているように見えるかもしれません。 それは言うのは難しいです。 したがって、視覚的にそれをやろうとすると、特にそうではないかを特定することは容易ではありません。 指数関数が期待される場合。

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二次関数はどこからともなく出てくるようです。 なぜあなたはどんな文脈でもそれを期待しますか? これは完全に恣意的なようです。

しかし、多くの状況でそれを期待すべき理由は簡単な議論があります。 私は人口統計学的なケースのためにこれを最初に開発しましたが、私が今気づいているように、このようなことが起こる唯一の例ではありません。

人間のような二次元の平面上に本質的に生きている存在があるとします。 私たちは球に住んでいるので、これは理想化ですが、最初の近似としてはそれほど遠くはありません。 私はこの単純化から生じる問題をすぐに処理します。

さて、人口密度の場合、関心のある量があると仮定しますが、それは何か他のものでもあり、その量は最初は低いレベルにありますが、その後は高いレベ これがどのように機能するかは多くの方法があります。 極端な場合は、レベルがちょうどジャンプアップすることです。 明らかに、これは人口密度では不可能です。 レベルを接続する別の方法は、レベル間の差の半分まで速度を上げ、下からより高いレベルに近づくにつれて対称的に減速するロジスティック関数

人口については、私はそれがかなり似ていると思うが、ひねりを加えた:人口の勢いがある。 交換レベルを超えて追加の子供がいる場合、それらにはさらに子供や孫がいます。 世代が重なっているので(ほとんどの人は子供や孫が育つのを見るのに十分な長さに住んでいます)、これらの追加の子孫が上に来ます。 つまり、出生率が置換レベルを超えてから約半世紀にわたって人口が増加し続けていることを意味し、出生率が並行して置換レベルまで低下または下

この遅れた効果は、より高いレベルに行くのを難しくします。 どの決定でも今何十年もの間影響を有する。 そして、より高いレベルに行こうとする人口はそれをオーバーシュートするかもしれません。 その後、再びそのサイズを下方に修正する必要があり、これは他の方向に運動量効果をもたらし、その後、オーバーシュートとアンダーシュートの別のラウンドがあ 母集団がそれを正しく行うと、これらの振動は時間の経過とともに消滅し、母集団の大きさはより高いレベルに収束します。 しかし、基本的には、これは物事を粘着性にし、より高いレベルの周りにいくつかの振動を導入する過去からの遅れを伴うロジスティック成長の一種

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しかし、移行はうまくいくかもしれませんが、これは1つの場所で起こることです。 ここで、より低いレベルからより高いレベルへのこのシフトは、最初にある点、中心で発生し、次に無限平面上で一定の速度で拡大すると仮定します。 ロジスティック関数のような複雑な関数ではなく、遅延があっても、下位レベルから上位レベルへの突然のジャンプを想定した場合に何が起こるか

最初は中心点でレベルが上昇します。 しかし、これが一定の速度で広がるにつれて、2つの異なる領域があります。 どちらかが低いか、より高いレベルを持っています。 より高いレベルは、特定の半径を持つ中心の周りのボール内のすべてのポイントに適用されます。 あなたの外にはまだ低いレベルがあります。 私は一定の膨張速度を仮定したので、ボールの半径は時間内に直線的に成長する。 これは、ボールの面積が二次的に成長することを意味します。 あなたはそれがどのように拡大するか二次元を持っています。 したがって、集計の違いを見ると、それはより高いレベルとより低いレベルの差を面積倍にするだけです。 後者は(私の仮定によって)定数であり、前者は二次関数であるため、これは二次関数です。 そして、それはあなたがそのような状況で期待すべきことです。 指数関数的な成長ではありません!

ジャンプほど単純ではない下位レベルから上位レベルへの移行があると、少し複雑になります。 しかし、境界から中心まで走る線を見ることができます。 境界では、移行を通過する時間がなかったので、あなたはまだ下のレベルにいます。 しかし、あなたが内側に移動するにつれて、より多くの時間がありました。 半径は一定の速度で拡大するので、速度が一定であるために歪みがあるだけで、中心に向かって移動すると、ある場所での動作がうまくいくことが

遷移がある場所で時間の経過とともにより高いレベルに収束し、拡張が十分に長く続いた場合、内部のポイントについては、レベルはほぼ高いレベ 遷移は、境界に近いゾーンで発生します。 レベルが内部のより高いものに近づく前に、それは常に固定された深さを持っています。

ボールが成長するにつれて、より高いレベルに近いものが増えています。 遷移ゾーンは直線的に成長する領域を持ち、固定された深さを持ち、一次元の実体である円周のようにしか成長しません。 したがって、その面積は時間内の線形関数にすぎません。 しかし、それはボール内の遷移ゾーンのシェアがゼロになることを意味します。 ボールのほとんどはほぼ高レベルであり、唯一の減少シェアは、レベルの間のどこかにあります。 すべてのすべてで、これは突然のジャンプでケースのやや平滑化バージョン。 ほとんどの場合、相対的な寄与がゼロになる遷移ゾーンを除いて同じです。 したがって、この場合、少なくとも非常に小さなボールを持つ初期段階の後、おそらくある場所での行動が支配的な、ほぼ二次的な成長があります。

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この観点から、二次元に住んでいる人間にとって指数関数的な成長が実際には不可能である理由も明らかです。 それは二次成長よりもはるかに速くスピードアップします。 ただし、レベルがより高い値になるだけでなく、無限大になる場合にのみ、一定の拡張速度でそれを持つことができます。 基本的には、集計で指数関数を取得するには、指数関数をレベルの2次関数で割ったもの(ジャンプと考えてください)が必要です。 しかし、指数関数は二次関数よりも漸近的に(時間が無限大になるにつれて)強くなり、比率は無限大になります。 しかし、存在が最低限のスペースを必要とするならば、人口密度は無限に行くことができません。

あなたが試みるかもしれない他の方法は、一定の速度以上でボールを拡張することです。 しかし、半径が指数関数の平方根として展開される必要があります。 このようにして、レベルが有限の量だけ上昇する場合にのみ指数関数を得ることができます。 しかし、指数関数の平方根はexp(r*x/2)であり、これは指数関数そのものであり、したがって無限大になります。 そして、それはいくつかの速度制限を持っている人間のために可能ではありません。 また、2つの方法を組み合わせることはあなたを助けません、少なくとも1つは無限大に行かなければなりません。この点を強調するために

: 指数関数的な成長は確かに漸近的に非常に強いですが、それは本質的に二次元に住んでいて、最小限のスペースを必要とし、有限の速度でしか拡大でき それはあなたが無限の面積を持つ無限の平面を仮定し、食糧供給や何か他のものに制約がない場合でもそうです。 漸近的なケースについてのマルサス人の全体の心配は、指数関数的な成長はすでに理論的には人間のような存在のために不可能であるため、完全に無

私が上記の二次関数であなたをだましたならば、悲しい気分にならないでください、人口の文脈では、Thomas Malthusが指数関数についての彼の強迫観念でこれを あなたは、細菌が指数関数的な成長を示すという定期的な主張を得るでしょう。 しかし、それらが有限の速度とそのサイズのためのいくつかの最小値を持つ二次元で成長するならば、例えば。 ペトリ皿では、彼らは二次的な成長を持っています。 ピリオド。

細菌の動画の全ジャンルがあります。大腸菌だけについてはWikipediaのこちらを参照してください。 そして、あなたはこれらのビデオを見て、叫ぶ多くの人々を持つことになります:”うわー、これは指数関数的な成長です!”しかし、細心の注意を払う、細胞のコロニーは、すなわち、定期的な速度で展開します。 あなたが実際に見ているのは二次成長です。 細菌が三次元で成長することができれば、同じ議論は立方成長につながり、これは漸近的に指数関数的成長よりもはるかに遅い。 最初は多くのスペースがあり、細胞を旋回させて他の細胞の邪魔にならないようにすると、しばらくの間指数関数的な成長があります。 それが終わるまで。

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この部分を要約すると、ある場所で低いレベルから高いレベルに上がる量があり、一つのジャンプで、またはこれのより滑らかなバージョンで、そこから それは指数関数的な成長ではなく、ここでの自然な仮定でなければなりません。

あなたはより多くの中心がある可能性があることに反対するかもしれません。 たとえば、最初の植民地から遠く離れた場所に行き、自分の植民地を始める人もいます。 これはすでにあなたが拡張の速度をいじることを意味することに注意してください。 それは、もちろん起こることができます。 しかし、2つのコロニーが別々のままである限り、あなたは2つの2次関数の合計しか持っていません、それは再び2次関数です。 二つのコロニーが一緒に成長するとすぐに、彼らはお互いの邪魔になるので、それは遅くなり、速くなりません。

さて、我々は無限の平面上ではなく、有限の球上にあることを上記の点に対処するために:我々は最初にそれ以上のものがあることを無視し、全体の地理、およ 局所的には、球面は平面でよく近似されます。 しかし、球は正の曲率を持っているので、中心の周りのボールの面積は無限平面上よりもゆっくりと拡大します。 膨張がすでに極から赤道に向かって行っているときに、それはさらに悪化します。 そして、最終的に、あなたが反対の極に到達すると、それは終わりです。

しかし、それは球上では成長が二次成長よりもさらに遅く、したがって指数関数的成長からはまだ遠いことを意味します。 ここにはせいぜい有限の領域があるので、無限の平面上では永遠に続くことができますが、成長はある時点から停止します。

私たちの惑星はビリヤードボールではなく、より多くの構造を持っているので、これはまだ現実的ではありません。 だから、拡張はすでに、例えば、はるかに早く停止する可能性があります。 あなたが海に到達したとき。 しかし、それは成長がまだ遅くなります。 半島のような領域の上半分で既に拡大していて、その拡大が実質的に直交方向にのみある場合、成長は線形になります。 そして、それは停止するまでさらに減速します。 したがって、球と複雑な地理上の実際の動作は、最初はせいぜい二次成長であり、その後線形成長に落ち、最終的には崩壊するでしょう。

ここで重要なのは、ある場所で起こることは、展開の速度が低い限り、集約された振る舞い、下位レベルから上位レベルへの移動方法にはあまり関係ないということである。 拡張がすぐに全世界に行った場合にのみ、あなたはどこでも一つの場所で行動を見て、したがって集計でも行動を見るでしょう。 拡張の速度がボールのほとんどがほぼより高いレベルにあるほど十分に遅い場合、拡張からの効果が支配的であり、あなたが総計で見るものです。 言い換えれば、最初は成長段階で二次成長のようなものがあり、後で線形成長に落ちてからなくなるでしょう。

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今、私は人口密度のためにこれを議論しました、それはより低いレベルからより高いレベルに行きます。 しかし、1つの場所でこのように動作する任意の数量に対して同じ議論を行うことができます。 これは、そのようなダイナミクスを持っている限り、量が何であるかとは何の関係もありません。 例えば、より多くの出力を可能にするいくつかの技術革新が、一度一定の増加ではなく、いくつかの持続的な成長を取ります。 移行には時間がかかる場合があります。 しかし、拡張の速度が遅い場合、移行がどのように機能するかはそれほど重要ではなく、成長段階などではほぼ二次的な成長があります。

ここでは、このための面白いアプリケーションです。 より多くの出力をもたらす革新が1つしかないとします。 歴史的に、それは動物の家畜化のようなものであり、その後植物の家畜化のようなものであったかもしれません。 より高いレベルの一部は、イノベーションがある場所で人口密度を上方にシフトさせ、一人当たりの効果を高めることでもあるかもしれません。 そして、一瞬のためにすべての合併症を想定してみましょう、この技術革新は、開始時に完璧な権利であり、それ以上の改善を必要としません。 ある場所では、より低いレベルからより高いレベルに行くのに時間がかかりますが、おそらくそれほど長くはありませんが、人口増加をより高い人口密度に収容するために半世紀としましょう。 そして、この革新は世界中に広がりますが、ある場所から次の場所に這い上がります。

何が起こるかはただ一つの革新であり、時間の経過とともに出力の成長を前進させるものは何もありませんが、あなたは長い間ほぼ二次成長を それはまた非常に規則的である。 それは指数関数的な成長のように見えるかもしれないので、あなたは成長率を見て、時間をかけて来て、ほぼ一定の速度で集計を上げる多くの小さな しかし、それは仮定によってここではまったくそうではありません。 あなたが見るのは、地理的拡大の効果です。 入ってくる新しい技術革新はありません、それは世界に拡大する最初の一つの大きな技術革新です。

さて、二次成長で、さらに地理がそれをさらに押し下げるならば、あなたは必要に応じて時間の経過とともに成長率が低下することに気付くでしょう。 しかし、指数的な考え方と入ってくる多くの小さな革新として解釈では、あなたはこれを次のように読むでしょう:革新は最初はかなり速かったが、そ ここの人口はますます革新的になりました。 最初は一つだけの大きな革新があり、その後文字通り何もなかったので、本当の方法で。 しかし、あなたの理解はあなたの仮定によって誤解されています。 あなたは今、技術革新を遅らせたものを把握しようとします。

円で行くことができます。 たぶん、世界中で並行して拡大し、同じ振る舞いをする他の量もあるかもしれません。 だから、あなたは説明のように見える偽の相関がたくさんあります。 たとえば、一人当たりの新規事業の開始数を調べることができます。 しかし、新しいビジネスを開始する場合は、例えば。 新しいファームを設定し、この1つの技術革新のためにも地理的に拡大し、あなたはそれが経済成長と一緒にダウンしていることを見つける必要があ ほとんどの地域ではすでに事業が開始されており、新しい事業は境界の近くでのみ発生する可能性があります。 あなたは同じことについて効果的に話しているかもしれません、そしてそれはあなたが接続を見つけることは驚くことではありません。

あなたが迷っているなら、さらなる革新のためのリターンの減少についての話もすることができます。 しかし、仮定によって、とにかく何もありません。 あなたはまた、人口の革新性を心配し始め、それがそのダイナミズムをどのように失ったかなどを”ちょうどそう”の話をするかもしれません。 すべて間違っています。 それはここで起こることではありません。 それは地理的に拡大する一つの革新であり、それは成長率が低下しなければならない集計で一定の成長行動につながります。

ここに別のアプリケーションがあります:あなたは最初に一つの革新を持っていると仮定しますが、拡張の速度は上がりますが、そうでなければすべ 今、これはより速い成長につながるでしょう。 人口は再びその古いダイナミズムを発見し、より革新的になっている:あなたが入ってくる多くの遅い技術革新との説明にしている場合は、完全に 拡張をスピードアップするおそらく1つまたはいくつかの技術革新とは別に、これはそうではありません。 そして、成長はそれの後に、多分それの後に長いです。 また、一人当たりの企業数のような関連する数量は、経済成長とともに上昇し、これをドライバーとして特定することも観察します。 しかし、あなたは再び間違った場所を探しています。

確かに、世界は一つの大きな飛躍だけでそれほど単純ではありません。 たとえば、2つの大きな飛躍もあります。 しかし、拡張が支配的な貢献であれば、これは同じように機能します。 あなたは2つの二次関数を追加しますが、それはまだ二次関数です。 同じ理由で、大きな革新がより小さな増加で来るかもしれないという異議は機能しません。 もちろん、それは起こる可能性があります。 しかし、主要な部分が地理的な拡大である場合、それはまだあなたが集計で見るかもしれないものです。

または、しばらく拡張が阻止された状況を考えてください。 おそらくいくつかの大きな技術革新がありましたが、普及することはできませんでした。 次に、この制約を一度に解除します。 だから、それはより低いレベルからより高いレベルへの一つの大きなシフトのようなものです。 それは、その後遅くなる停滞の期間の後にかなり速い成長をもたらすはずです。 世界恐慌と第二次世界大戦、そして1945年から1960年代までの強力な成長について考えてみてください。ここでのポイントは、人々が当時より革新的になったということではなく、イノベーションのバックログがあったということだけです。 ある意味では、これは”ベビーブームの経済的な同等である。”

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これらの2つの解釈、指数関数的成長と二次成長の区別は、将来、特に遠い未来に外挿したい場合に特に重要です。 指数関数はますますスピードアップします。 しかし、基本的に地理的拡大によるプロセスは、せいぜい二次的に成長し、後で減速して停止する必要があります。 短い期間にわたって、二つのモデルは一見似て見えるかもしれません。 しかし、私はイングランドの人口のための私の以前の記事の一つで実証したように、あなたが選ぶものは予測のために大きな違いを生むことがで

私が投稿したのは、イギリスの人口のために1815年から1869年までのデータシリーズを使用することです。 次に、指数関数モデルと二次モデルを使用して近似しました。 すでにデータ上では、二次モデルはわずかに良く機能しますが、両方とも説明としてはかなり良く見えます。 これを使用して2015年の人口サイズを外挿して予測すると、指数モデルでは1億4500万が得られますが、これは馬鹿げたことです。 基礎となる地理のために過大評価されなければならない二次モデルは、少なくとも右の球場にある69万人をもたらします:イングランドは約55万人の人口を2015年に持っていました。

ここでのより基本的なポイントは、指数的思考に偏った成長率を介して物事を見ることは誤解を招く可能性があるということです。 基礎となるプロセスがより低いレベルからより高いレベルへのシフトのようなものであり、それが2次元で拡大する場合、少なくとも成長期の自然 減速成長率は、その後、驚きであってはなりません。 そして、それらを他の量に関連させ、革新を推進するプロセスを捜すことも無駄です。 それは純粋な人工物であり、最悪の場合、地理的拡大とそれ自体との相関関係である可能性があります。

一定の成長率で物事を前進させる力が常にあるという指数関数的な考え方では明らかに見えるかもしれませんが、実際には、経済成長を何らかの革新 その場合、指数関数のように外挿することはできません。 それは、さらなる技術革新が実際に実現するかどうかに依存し、現時点ではカードに入っているかどうかに依存する可能性があります。 人々は動物を家畜化することができ、一つの種は次々に家畜化することができます。 しかし、ある時点から、あなたは家畜化のために新しい種を強制することはできませんでした。 そして、あなたは植物でもこれを行うことができませんでした。

そのような視点からの自然な仮定は、時間の経過とともにゆっくりと、最初は二次で、後に線形成長で、そしてより高いレベルで安定する、より低いレベ まだレベルを上げるさらなる技術革新がある場合は、次の高原に移動し、など。 これが任意に高いレベルに進むことを期待する理由はありません。 技術革新が私たちを運ぶ限り。

確かに、それは本質的にさらなる革新に関して何が起こるか分からないので、指数関数のように簡単にそれを予測することはできません。 しかし、この点を付与し、不当な外挿を控えることはおそらく現実的です。 あなたはいくつかの正当化で、その後行うことができるすべては、おそらくすでに進行中であり、唯一のより高いレベルへの移行としてではなく、無限

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