Numéro de Rayo

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Le nombre de Rayo est l’un des plus grands nombres nommés, inventé dans une bataille de grand nombre opposant Agustín Rayo à Adam Elga. Le nombre de Rayo est, selon les propres mots de Rayo, « le plus petit entier positif plus grand que tout entier positif fini nommé par une expression dans le langage de la théorie des ensembles du premier ordre avec des symboles Googol ou moins. »

Bien que la théorie des ensembles du second ordre n’ait pas été spécifiée dans la définition originale et soit clarifiée comme la collection philosophique (mais mathématiquement mal définie) de formules que le monde réel « satisfait » philosophiquement, il est raisonnable de supposer que la théorie des ensembles \(\textrm{ZFC}\) est un segment du premier ordre de la théorie des ensembles non spécifiée car la majorité des mathématiciens et des googologues s’intéressent à la théorie des ensembles \(\textrm{ZFC}\). Sous l’hypothèse, la fonction de Rayo dépasse toutes les fonctions définissables dans la théorie des ensembles \(\textrm{ZFC}\). Tout au long de cet article, nous utilisons toujours la même hypothèse sauf pour la section Axiome qui explique plus en profondeur le problème de l’absence de clarification de la théorie des ensembles du second ordre.

La fonction de Rayo est l’une des fonctions à croissance la plus rapide jamais apparue en mathématiques professionnelles; seules quelques fonctions, en particulier son extension, le numéro de poisson 7 la dépasse. Comme la fonction de Rayo utilise des mathématiques difficiles, il existe plusieurs essais pour la généraliser qui aboutissent à un échec. Par exemple, la fonction FOOT (théorie d’oodle du premier ordre) a également été considérée comme la surpassant, mais elle est mal définie.

Définition

Soient \(\) et \(\) des formules codées par Gödel et \(s\) et \(t\) des affectations de variables. Définissez \(\text{Sat}(,s)\) comme suit:

\(\ text {Rayo}(n)\), alors, est le plus petit nombre supérieur à tous les nombres Rayo-nommables dans les symboles \(n\).

Notez que les x_i dans t(xi) ∈ t(xj) et t(xi) = t(xj) dans la définition de \(\text{Sat}\) ci-dessus étaient x_1 dans la définition originale. Bien que x_1 soit la seule variable libre autorisée à se produire dans un nom de rayon, l’affectation de variable pour x_i est en fait mentionnée dans la satisfaction defour-fourmulae. Par conséquent, la définition originale n’a pas fonctionné comme Rayo l’avait réellement prévu et a été mise à jour par Rayo lui-même. (Récupéré 19/05/2020)

Explication 1

Il existe de nombreuses terminologies de logique formelle selon les auteurs. Nous expliquons l’une de ces terminologies. Un langage formel est un ensemble de symboles de termes constants, de symboles de termes variables indexés par des nombres naturels, de symboles de fonction et de symboles de relation. Une formule dans un langage formel \(L\) est une chaîne formelle construite à partir de symboles de termes constants dans \(L\), de symboles de termes variables dans \(L\), de symboles de fonctions dans \(L\), de symboles de relations dans \(L\), de quantificateurs et de connectives logiques suivant une certaine syntaxe.

Une interprétation des formules dans \(L\) est une carte qui attribue une constante à chaque symbole de terme constant, une fonction à chaque symbole de fonction et une relation à chaque symbole de relation. Étant donné une interprétation des formules dans \(L\), chaque formule fermée dans \(L ‘\) sera évaluée comme vraie ou fausse tant qu’un prédicat de vérité est formalisable, car il correspond à une formule sur des paramètres dans \(V\). En particulier, étant donné une affectation de variable et une interprétation, on peut se demander si une formule donnée dans \(L\) est vraie ou fausse tant qu’un prédicat de vérité est formalisable. Afin de formaliser un prédicat de vérité, nous avons besoin d’une théorie des ensembles suffisamment forte. Par exemple, la théorie des ensembles ZFC ne convient pas à cette fin.

Rayo a défini un langage formel très spécifique et abstrait ainsi qu’un choix canonique d’interprétation:

  • Une formule atomique « xa∈xb » signifie que la variable ath est un élément de la variable bth.
  • Une formule atomique « xa = xb » signifie que la variable ath est égale à la variable bth.
  • Une formule « (e) » pour une formule e signifie la négation de e.
  • Une formule « (e∧f) » pour les formules e et f signifie la conjonction (le et logique) de e et f.
  • Une formule « ∃xa(e) » signifie que nous pouvons modifier l’occurrence libre de la variable ath, i.e. remplacez xa par un autre membre de la classe \(V\) de tous les ensembles, dans e afin que la formule e soit vraie.

Une formule atomique est une sorte spéciale de formule.

Si une formule renvoie true lorsqu’une affectation de variable y est branchée, nous disons que l’affectation de variable « satisfait » cette formule.

Maintenant, nous arrivons au concept de base de la facilité de nom de Rayo, en ignorant la restriction de longueur:

Il existe une formule \(\phi\) telle que toutes les affectations de variables satisfaisantes doivent avoir \(m\) comme premier argument, et il existe au moins une telle affectation.

Nous pouvons continuer avec ce modèle, en définissant chaque nombre naturel en utilisant cette méthode. Cela nous permet de nommer le nombre \(n\) dans les symboles \(O(n^2)\). Avec des valeurs plus grandes, il est possible de définir des opérations récursives, ce qui nous permet de Rayo-nommer des nombres de plus en plus grands en utilisant une notation compacte. Étant donné un nombre suffisamment grand, une chaîne de Rayo qui définit l’exponentiation aurait besoin de moins de symboles que notre technique naïve.

Notez que le symbole xn est compté comme un symbole unique – il ne doit pas être divisé en symboles distincts x et n.

Nous avons toutes les pièces en place pour définir la fonction de Rayo:

La fonction de Rayo \(\text{Rayo}(n)\) est définie comme le plus petit entier non négatif supérieur à tous les entiers non négatifs Rayo-nommables dans au plus \(n\) symboles.

Pourquoi la fonction de Rayo est-elle intransigeable ? En utilisant la microlangue de Rayo, on peut construire un ensemble dont les éléments sont des descriptions dites instantanées d’une machine de Turing, et à partir de cela, ce n’est qu’une petite étape pour définir la fonction de castor occupé. Avec plus d’effort, on peut même construire des machines de Turing oracle et définir leurs analogues de la fonction de Castor occupé, ce que l’utilisateur du Wiki de Googologie EmK a fait.

Exemple de chaînes de Rayo et leurs valeurs

Ainsi :

\begin {eqnarray*} \text {Rayo}(0) &=& 0 \\\ text {Rayo}(10) & \ge & 1\\\text {Rayo}(30) & \ge & 2\\\text {Rayo}(56) &\ge & 3\\\end{eqnarray*}

Bien que cet argument ne donne que des limites inférieures, les valeurs précises pour les petites valeurs sont données par les utilisateurs du Wiki Googology Plain’N’Simple et Emk:

\begin {eqnarray*} \text {Rayo}(0) &=& 0 \\\ texte {Rayo}(1) &=& 0 \\&\ vdots & \\\text {Rayo}(9) &=& 0 \\\ texte {Rayo}(10) &=& 1 \\\ texte {Rayo}(11) &=& 1 \\&\ vdots & \\\text {Rayo}(19) &=& 1 \\\ end {eqnarray *}

La fonction Rayo a à peine un taux de croissance des racines carrées pour les petites valeurs, mais si nous ajoutons une tonne de symboles, nous pouvons représenter des nombres beaucoup plus grands.

Donc:

\begin {eqnarray*} \text {Rayo}(861) &>& 4 \\\ texte {Rayo}(926) &>& 16 \\\ texte {Rayo}(984) &>& 65536 \\\ texte {Rayo}(1026) &>& 2^{65536} \\\ end {eqnarray*}

Et ainsi de suite. Plain’N’Simple dit également que \(\text {Rayo}(10000) > 2 \uparrow\ uparrow\ uparrow65536 \), bien qu’il ne donne pas de preuve.

Emk a montré que \(\text{Rayo}(7901) > \text{S}(2^{65536} – 1)\), où \(\text{S}(n)\) est la fonction de décalage maximal.

Explication 2

Nous allons ouvrir avec le paradoxe de Berry:

Soit x le plus petit nombre naturel supérieur à tous ceux définissables en au plus quinze mots anglais. Alors x peut être défini comme « le plus petit nombre naturel supérieur à tous ceux définissables dans au plus quinze mots anglais. »Nous venons de définir x en utilisant au plus quinze mots anglais, donc x ne peut pas être supérieur à tous les nombres naturels définissables dans au plus quinze mots anglais. C’est une contradiction.

La source du paradoxe est l’ambiguïté du mot « définissable », et plus fondamentalement l’ambiguïté de la langue anglaise elle-même. La fonction de Rayo contourne ces péchés mathématiques en remplaçant l’anglais par la langue appelée théorie des ensembles du premier ordre (FOST). FOST est le langage de la logique du premier ordre avec l’univers de von Neumann comme domaine. Plus précisément, FOST est capable de déterminer l’appartenance à un ensemble, de quantifier l’univers et d’appliquer des opérateurs logiques. Les détails de la façon dont cela fonctionne sont donnés ci-dessus.

Nous corrigeons la faille à l’origine du paradoxe de Berry, ce qui donne la définition suivante de Rayo(n), qui est:

le plus petit nombre naturel supérieur à tous les nombres naturels pouvant être identifiés de manière unique par une expression FOST d’au plus n symboles

Le paradoxe a disparu maintenant car la définissabilité a été remplacée par un langage formel. FOST est soumis au théorème d’indéfinissabilité de Tarski, qui dit que nous ne pouvons pas définir formellement la vérité, et encore moins la définissabilité, donc FOST ne peut pas invoquer FOST comme l’anglais peut invoquer l’anglais.

Axiome

Pour définir un nombre naturel en utilisant la théorie des ensembles, nous devons fixer sous quels axiomes nous le définissons. Un problème dans la définition du nombre de Rayo est que Rayo n’a pas clarifié les axiomes. En mathématiques, nous omettons traditionnellement la déclaration des axiomes dans lesquels nous travaillons tant que nous travaillons en théorie des ensembles \(\textrm{ZFC}\). Par tradition, plusieurs googologues pensent que le nombre de Rayo est défini dans la théorie des ensembles \(\textrm{ZFC}\), ou n’est pas pertinent pour les axiomes, mais c’est faux.

Au moins, puisque la théorie des ensembles \(\textrm{ZFC}\) n’est pas en mesure de formaliser le prédicat de vérité dans l’univers de von Neumann, le nombre de Rayo est mal défini dans la théorie des ensembles \(\textrm{ZFC}\) sauf si nous interprétons la définition du nombre de Rayo en termes de prouvabilité. Même si nous interprétons la définition de cette manière, le grand nombre résultant ne sera pas significativement plus grand que, par exemple, \(\Sigma(10^{100})\) ( où \(\Sigma\) est la fonction de castor occupé) parce que la prouvabilité dans une théorie récursivement énumérable avec une restriction de la longueur est décidable par une machine de Turing. Pour aller de manière significative au-delà de la fonction de castor Occupé, nous devons abandonner la prouvabilité et parler de vérité dans un modèle particulier, dont l’existence n’est pas prouvable sous la théorie des ensembles \(\textrm{ZFC}\) tant que la théorie des ensembles \(\textrm{ZFC}\) est cohérente.

D’un autre côté, FOST n’est qu’un langage formel, qui n’est pas pertinent pour les axiomes par la définition, mais cela ne signifie pas que le nombre de Rayo n’est pas pertinent pour les axiomes. La non-pertinence de FOST et des axiomes ou la relation entre la fonction de Castor occupé et l’interprétation basée sur la preuve de la définition du nombre de Rayo pourraient être les principales raisons du malentendu selon lequel le nombre de Rayo n’est pas pertinent pour les axiomes.

Comme Rayo a écrit qu’il utilise la théorie des ensembles du second ordre afin de formaliser le vocabulaire sémantique primitif dans la description originale, le nombre de Rayo est défini sous certains axiomes de la théorie des ensembles du second ordre, qui ne sont pas clarifiés. Il est important de clarifier les axiomes en googologie non modifiable, car les grands nombres non modifiables ne peuvent être comparés les uns aux autres que lorsqu’ils partagent les axiomes utilisés dans leurs définitions. Heureusement, il existe de nombreux choix d’axiomes de la théorie des ensembles du second ordre qui nous permettent de définir le nombre de Rayo. En conclusion, le nombre de Rayo est bien défini pour les googologues qui ne se soucient pas de la clarification des axiomes et est mal défini pour les googologues qui se soucient de la clarification des axiomes. C’est pourquoi cet article appartient à la catégorie: Incomplet.

En 2020, Rayo a ajouté la nouvelle description suivante de la façon de traiter le nombre de Rayo:

Remarque: Les philosophes supposent parfois une interprétation réaliste de la théorie des ensembles. Sur cette interprétation, les expressions théoriques des ensembles ont des significations « standard », qui déterminent une valeur de vérité définie pour chaque phrase de la langue, qu’il soit en principe possible de savoir quelles sont ces valeurs de vérité. (Voir, par exemple, cet article de Vann McGee.) Pendant le concours, Adam et moi avons tenu pour acquis que le langage de la théorie des ensembles (du second ordre) était interprété de manière standard, ce qui garantit que l’entrée finale correspond à un nombre défini. Si le langage avait plutôt été interprété sur la base d’un système d’axiomes, l’entrée finale aurait été invalide. En effet, chaque axiomatisation (cohérente) du langage a des modèles non isomorphes et il n’y a aucune garantie que l’entrée finale correspondra au même nombre par rapport à différents modèles.

Cela signifie que Rayo considère une « interprétation » philosophique des formules théoriques des ensembles par rapport à la « vérité » dans le monde réel, qui n’est pas formalisable en mathématiques, et n’entend pas un choix spécifique d’axiomes. C’est l’une des directions raisonnables de la googologie en dehors des mathématiques. D’un autre côté, la question de la dernière phrase ressemble à une excuse pour expliquer pourquoi ils tiennent la « vérité » non formalisable pour acquise, mais cela n’a pas de sens car la dépendance de la valeur d’un nombre donné sur un modèle n’est pas pertinente pour la « nullité ». En mathématiques, il existe de nombreuses notions bien définies qui ne sont pas absolues, c’est-à-dire dépendent d’un modèle, par exemple le nombre naturel unique \(n\) satisfaisant \((\text{CH}\ to n = 0)\land(\neg\text{CH}\to n=1)\). En googologie, il existe de nombreux grands nombres qui dépendent d’un modèle, par exemple les valeurs de la fonction de castor occupé et surtout \(S(1919)\), où \(S\) désigne la fonction de décalage maximum. En Duel de Grands Nombres, il n’y a pas de règle interdisant un nombre qui dépend d’un modèle, et en effet il permettait même de sauter pour fixer des axiomes.

Histoire

Le duel de nombres de Rayo et d’Elga a été inspiré par les compétitions de grand nombre décrites dans l’article « Qui peut nommer le Plus Grand Nombre? » par Scott Aaronson.

En janvier 2013, Adam P. Goucher a affirmé que \(\text{Rayo}(n)\) croît plus lentement que sa fonction xi. Cependant, l’affirmation s’est avérée incorrecte, car Goucher a mal compris la définition de la fonction de Rayo comme le « plus grand entier exprimable uniquement par n symboles dans l’arithmétique du premier ordre (le langage de l’arithmétique de Peano). ». L’arithmétique du second ordre est beaucoup plus forte, et la théorie des ensembles du premier ordre est encore plus forte que cela. Le domaine du discours de l’arithmétique du premier ordre est les nombres naturels, mais le domaine du discours de la théorie des ensembles du premier ordre est défini comme étant des ensembles de l’univers entier de von Neumann. En fait, on peut montrer que la fonction de Rayo est beaucoup plus puissante que la fonction xi.

Le nombre de Rayo a été honoré comme le plus grand nombre nommé jusqu’en 2014, lorsque BIG FOOT a été défini, en utilisant une extension non naïve de la théorie des ensembles de n-th ordre, la théorie d’oodle du premier ordre. Notez que les extensions naïves comme \(\text {FOST}^{100}(10^{100})\) lorsque la notation récursive / itération est utilisée, elle n’est pas honorée comme battant le record du nombre de Rayo. Bien que le nombre de Rayo ait déjà été dépassé en 2013 par le numéro de poisson 7, il était discutable de savoir si ce nombre était une extension suffisamment bonne pour être honoré comme battant le record. Cependant, BIG FOOT s’est avéré mal défini en 2018. Actuellement, tous les plus grands nombres nommés partagent le même concept de fonction de Rayo, c’est-à-dire se référant à la namabilité des nombres naturels, et à toutes les extensions non naïves telles que la fonction FOOT.

Auteur

Le nombre a été inventé par le Dr Agustín Rayo, professeur agrégé de linguistique et de philosophie au Massachusetts Institute of Technology où il a obtenu son doctorat en 2001.

Sources

Voir aussi

  • Le numéro de Rayo sur Wikipedia.
  • Castor occupé
  • GRAND PIED
  • Petit Bigeddon
  • Grand Nombre Numéro de jardin
  • Fonction non modifiable
Un grand nombre dans les ordinateurs
Article principal: Nombres en arithmétique informatique

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Fonctions non modifiables: Fonction castor occupé * Fonction de décalage maximum · Fonction Doodle * Numéro Betti * Fonction Xi * ITTM castor occupé · Rayo(n· * PIED (n)
Concepts: Récursivité

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