Fonction à Valeurs Réelles

3 Logique Inductive axiomatique

Le but de la logique inductive axiomatique est de trouver des principes généraux de rationalité qui réduisent la classe des mesures de probabilité acceptables. Le premier traitement axiomatique de ce type a été présenté par W. E. Johnson (cf. ). Ses principaux résultats ont été redécouverts indépendamment, et sans référence à lui, par Kemeny et Carnap en 1952-54 (voir).

Pour les partisans de la probabilité personnelle, A1 est la seule contrainte générale des degrés de croyance rationnels. Il garantit que les probabilités servent de ratios de paris cohérents. A2 exclut qu’une phrase singulière contingente ait la probabilité antérieure. A3 est équivalent à la condition d’échangeabilité de De Finetti (cf. ). Cela implique que la probabilité P (Qi (an + 1 / e) ne dépend de la preuve e qu’à travers les nombres n1,…, nK, de sorte qu’elle est indépendante de l’ordre d’observation des individus dans e. A4 indique que les prédicats Q sont symétriques: P(Qi) = 1 / K pour tout i = 1,…, K. A5 est le « postulat de suffisance » de Johnson, ou l' »axiome de non-pertinence prédictive » de Carnap. Il indique que la fonction représentative P(Qi(an +1/e) est indépendante des nombres nj, j ≠ i, d’individus observés dans d’autres cellules que Qi (tant que la somme n1 + … + nK = n).

λ = Kf(0,1) 1-Kf(0,1).

Si K = 2, la preuve nécessite l’hypothèse supplémentaire que f est une fonction linéaire de ni. Le cas λ = 0 est exclu par A2. En déposant A4, la fonction f(ni,n) aura la forme (2′). Par conséquent, nous voyons qu’une mesure de probabilité inductive régulière et échangeable est Carnapienne si et seulement si elle satisfait au postulat de suffisance A5. En particulier, l’approche bayésienne traditionnelle de Laplace avec la probabilité c∗ satisfait A5.

L’axiome A5 est très fort, car il exclut que les probabilités singulières prédictives P(Qi(an + 1/enc) sur l’instance suivante dépendent de la variété de preuves, c’est-à-dire du nombre c de cellules Qi tel que ni > 0. Comme le nombre de généralisations universelles en L que la preuve e falsifie est également une fonction simple de c, l’axiome A5 rend l’induction purement énumérative et exclut les aspects éliminatifs de l’induction (voir). Nous avons déjà vu que la fonction représentative (22) du système combiné généralisé de Hintikka dépend de c. L’incapacité du λ-continuum de Carnap à traiter la généralisation inductive est donc une conséquence malheureuse de l’hypothèse de fond A5.

L’axiomatisation de Carnap-Kemeny du λ-continuum de Carnap a été généralisée par Hintikka et Niiniluoto en 1974, qui ont permis que la probabilité inductive (2) du cas suivant de type Qi dépende de la fréquence relative observée ni de type Qi et du nombre c de différents types d’individus dans l’échantillon e (voir) :

A6 c- principe : Il existe une fonction f telle que P(Qi(an +1/enc) = f(ni, n, c)

Ici λ > -K et

(26)0< yc≤λ/Kc + λ.

Par conséquent,

P(CK) = 1iffyi = δiforalli = 1,…, K−1.

En d’autres termes, le λ-continuum de Carnap est le seul cas particulier du système de dimension K qui n’attribue pas de probabilités non nulles à certaines généralisations universelles. Encore une fois, les systèmes de Carnap s’avèrent biaisés en ce sens qu’ils attribuent a priori la probabilité un au constituant atomiste CK qui prétend que tous les prédicats Q sont instanciés dans l’univers U.

La réduction de toutes les probabilités inductives à K paramètres, qui concernent des probabilités de prédictions singulières très simples, donne un contre-argument à l’affirmation de Wolfgang Stegmüller selon laquelle il n’est pas « logique » de parier sur des généralisations universelles (cf. ). Dans le système de dimension K, un pari sur une loi universelle équivaut à un système de K paris sur des phrases singulières sur des preuves finies.

Le paramètre yc = f(0, c, c) exprime la probabilité prédictive de trouver un nouveau type d’individu après c succès différents. Pour une telle preuve e, la probabilité postérieure de Cc se rapproche de un lorsque yc se rapproche de zéro. De plus, P(Cc) diminue lorsque yc augmente. Le paramètre yw sert ainsi d’indice de prudence pour les constituants de largeur w. Alors que le système bidimensionnel de Hintikka a un indice α de pessimisme global quant à la vérité des constituants Cw, w < K, dans le système de dimension K, il existe un indice de pessimisme distinct pour chaque largeur w < K.

Le système de dimension K permet des distributions plus flexibles des probabilités antérieures des constituants que le continuum α-λ de Hintikka. Par exemple, le principe (19) peut être violé. On peut d’abord diviser la probabilité antérieure de manière égale en phrases Sw (w = 0,…, K) qui indiquent qu’il existe des individus de type w dans l’univers. De telles « structures constitutives » Sw sont des disjonctions des constituants (wK) Cw de largeur w. Cette proposition a été faite par Carnap dans son commentaire sur le système de Hintikka (voir; cf. ).

En supposant que les paramètres yc n’ont pas leurs valeurs carnapiennes, on peut montrer

(27)P(Qi(an+1)/e & Cw) = ni +λ/Kn + wλ/K.

La comparaison avec la formule (15) montre qu’en plus du λ-continuum, l’intersection du système de dimension K et du système α-λ de Hintikka contient les membres de ce dernier qui satisfont à la condition que λ en fonction de w égale aw pour une constante quelconque a > 0.3 Le cas avec a = 1 est le système combiné généralisé de Hintikka (cf. (15′)). Cette nouvelle façon de motiver ce système montre son naturel. Les relations des différents systèmes inductifs sont étudiées en détail par Theo Kuipers.4

Il résulte de (27) que le système de dimension K satisfait l’Axiome de Reichenbach (3) et la Pertinence Positive Instancielle (4).

La condition fondamentale d’adéquation (13) de la généralisation inductive est satisfaite chaque fois que les paramètres yi sont choisis de manière plus optimiste que leurs valeurs carnapiennes:

(28) Ifyi < δi, fori = c,…, K−1, puisP(Cc/e)→1wenn→∞ etcisfixé.

Ce résultat montre à nouveau que le résultat très discuté du λ-continuum de Carnap, à savoir. la confirmation nulle des lois universelles est en réalité une caractéristique accidentelle d’un système de logique inductive. Nous nous débarrassons de cette caractéristique en affaiblissant le principe λ A5 au principe c A6.

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