Cintrage de Poutres

5.2 Cintrage Pur de Poutres de Section Symétrique

Le cas le plus simple de cintrage pur est celui d’une poutre possédant un axe de symétrie vertical, soumise à des couples d’extrémités égales et opposées (Fig. 5.1a). La méthode semi-inverse est maintenant appliquée pour analyser ce problème. Le moment M z représenté à la Fig. 5.1a est défini comme positif, car il agit sur une face positive (négative) avec son vecteur dans la direction des coordonnées positives (négatives). Cette convention de signe est en accord avec celle du stress (section 1.5). Nous supposerons que la contrainte normale sur la section transversale varie linéairement avec y et que les composantes de contrainte restantes sont nulles:

Figure 5.1. (a) Poutre de section transversale symétrique unique en flexion pure; (b) répartition des contraintes sur la section transversale de la poutre.

Ici k est une constante, et y = 0 contient la surface neutre — c’est-à-dire la surface le long de laquelle σx = 0 L’intersection de la surface neutre et de la section transversale localise l’axe neutre (en abrégé NA). Figure 5.1b montre le champ de contrainte linéaire dans une section située à une distance arbitraire a de l’extrémité gauche.

Depuis les égaliseurs. (5.1) indiquer que les surfaces latérales sont exemptes de contraintes, il suffit d’être assuré que les contraintes sont compatibles avec les conditions aux limites aux extrémités. Ces conditions d’équilibre exigent que la résultante des forces internes soit nulle et que les moments des forces internes autour de l’axe neutre soient égaux au moment appliqué

où A est la section transversale. Notez que les composants zéro contrainte txy, txz dans Eqs. (5.1) satisfaire aux conditions selon lesquelles il n’existe pas de forces dirigées par y et z sur les faces d’extrémité. De plus, du fait de la symétrie y de la section, σx = ky ne produit aucun moment autour de l’axe y. Le signe négatif dans la deuxième expression implique qu’un moment positif mz est celui qui entraîne une contrainte de compression (négative) aux points de y positif. (5.1) dans les égaliseurs. (5.2) donne

Depuis k ≠ 0, Éq. (5.3a) indique que le premier moment de la section transversale autour de l’axe neutre est nul. Cela nécessite que les axes neutre et centroïde de la section transversale coïncident. En négligeant les forces corporelles, il est clair que les équations d’équilibre (3.4), sont satisfaites par des QE. (5.1). Il peut également être facilement vérifié que les QE. (5.1) avec la loi de Hooke, remplissez les conditions de compatibilité, Eq. (2.12). Ainsi, les égaliseurs. (5.1) représentent une solution exacte.

L’intégrale dans Eq. (5.3b) définit le moment d’inertie Iz de la section transversale autour de l’axe z de la section transversale du faisceau (Annexe C); par conséquent,

Une expression de la contrainte normale peut maintenant être écrite en combinant Eqs. (5.1) et (a):

C’est la formule de flexion élastique familière applicable aux poutres droites.

Puisque, à une section donnée, M et I sont constants, la contrainte maximale est obtenue à partir d’Eq. (5.4) en prenant |y|max = c:

où S est le module de section élastique. L’équation (5.5) est largement utilisée dans la pratique en raison de sa simplicité. Pour faciliter son utilisation, des modules de section pour de nombreuses sections communes sont regroupés dans divers manuels. Une contrainte fictive dans les fibres extrêmes, calculée à partir de l’Eq. (5.5) pour le moment de flexion ultime obtenu expérimentalement (section 12.7), est appelé module de rupture du matériau en flexion. Cette quantité, σmax = Mu/S, est fréquemment utilisée comme mesure de la résistance à la flexion des matériaux.

5.2.1 Relations cinématiques

Pour mieux comprendre le problème du faisceau, nous considérons maintenant la géométrie de la déformation, c’est—à-dire la cinématique du faisceau. La base de cette discussion est l’hypothèse selon laquelle les sections à l’origine planes restent ainsi après la flexion. Pour un faisceau de section transversale symétrique, la loi de Hooke et l’Égalisation. (5.4) conduisent à

où EIz est la rigidité en flexion.

Examinons la déviation de l’axe du faisceau, dont la déformation axiale est nulle. La figure 5.2a montre un élément d’une poutre initialement rectiligne, maintenant à l’état déformé. Du fait que la poutre est soumise à une flexion pure, uniforme partout, chaque élément de longueur infinitésimale subit une déformation identique, de sorte que la courbure de la poutre est partout la même. L’axe dévié du faisceau ou de la courbe de déflexion est ainsi représenté déformé, de rayon de courbure rx. La courbure de l’axe du faisceau dans le plan xy en termes de déviation y χ est

Figure 5.2. a) Segment d’une poutre courbée; b) géométrie de la déformation.

où la forme approximative est valable pour les petites déformations (du/dx≪1). La convention de signe de courbure de l’axe du faisceau est telle que ce signe est positif lorsque le faisceau est courbé concave vers le bas, comme le montre la figure.

Comme le montre la géométrie de la Fig. 5.2b, les secteurs ombrés sont similaires. Par conséquent, le rayon de courbure et la déformation sont liés comme suit:

où ds est la longueur d’arc mn le long de l’axe longitudinal de la poutre. Pour un faible déplacement, ds ≈ dx et θ représentent la pente du/dx de l’axe du faisceau. Bien entendu, pour la courbure positive représentée à la Fig. 5.2a, θ augmente lorsque nous nous déplaçons de gauche à droite le long de l’axe du faisceau. Sur la base d’Eqs. (5.6) et (5.8),

En suivant une procédure similaire et en notant que ez ≈-Vex, on peut également obtenir la courbure dans le plan yz car

L’équation de base de la courbe de déviation d’un faisceau est obtenue en combinant Eqs. (5.7) et (5.9a) comme suit:

Cette expression, reliant la courbure du faisceau au moment de flexion, est connue sous le nom de loi de Bernoulli—Euler de la théorie élémentaire de la flexion. Il est observé à partir de la Fig. 5.2 et Eq. (5.10) qu’un moment positif produit une courbure positive. Si la convention de signe adoptée dans cette section pour le moment ou la déviation (et la courbure) est inversée, le signe plus dans Eq. (5.10) devrait également être inversé.

Référence à la Fig. 5.2a révèle que les surfaces latérales supérieure et inférieure ont été déformées en surfaces en forme de selle ou anticlastiques de courbure 1/rz. Les côtés verticaux ont été tournés simultanément à la suite de la flexion. Examen de l’égalisation. (5.9b) suggère une méthode pour déterminer le rapport de Poisson. Pour un faisceau et un moment de flexion donnés, une mesure de 1/rz conduit directement à v. L’effet de courbure anticlastique est faible lorsque la profondeur du faisceau est comparable à sa largeur.

5.2.2 Théorie des faisceaux de Timochenko

La théorie des faisceaux de Timochenko, développée par S. P. Timochenko au début du XXe siècle, constitue une amélioration par rapport à la théorie d’Euler—Bernoulli. Dans le cas statique, la différence entre les deux hypothèses est que la première inclut l’effet des contraintes de cisaillement sur la déformation en supposant un cisaillement constant sur la hauteur de la poutre, alors que la seconde ignore l’influence du cisaillement transversal sur la déformation de la poutre. On dit également que la théorie de Timoshenko est une extension de la théorie du faisceau ordinaire qui permet l’effet de la déformation par cisaillement transversal tout en assouplissant l’hypothèse selon laquelle les sections planes restent planes et normales à l’axe du faisceau déformé.

La théorie des faisceaux de Timoshenko est bien adaptée pour décrire le comportement des faisceaux courts et des faisceaux composites sandwich. Dans le cas dynamique, la théorie intègre la déformation par cisaillement ainsi que les effets d’inertie de rotation, et elle sera plus précise pour les poutres peu minces. En prenant effectivement en compte le mécanisme de déformation, la théorie de Timoshenko abaisse la rigidité du faisceau, avec pour résultat une plus grande déflexion sous charge statique et des fréquences fondamentales de vibration prédites inférieures pour un ensemble prescrit de conditions aux limites.

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