Reaaliarvoinen funktio

3 Aksiomaattinen Induktiivinen logiikka

aksiomaattisen induktiivisen logiikan tavoitteena on löytää yleiset rationaalisuuden periaatteet, jotka kaventavat hyväksyttävien todennäköisyysmittareiden luokkaa. Ensimmäisen tämänkaltaisen aksiomaattisen käsittelyn esitti W. E. Johnson (vrt. ). Hänen tärkeimmät tulokset olivat itsenäisesti, ja ilman viittausta häneen, uudelleen Kemeny ja Carnap vuonna 1952-54 (KS.).

henkilökohtaisen todennäköisyyden puolestapuhujille A1 on ainoa rationaalisten uskomusasteiden yleinen rajoite. Se takaa, että todennäköisyydet toimivat johdonmukaisina vedonlyöntisuhteina. A2 sulkee pois sen, että jollakin ehdollisella yksikössä lauseella on aikaisempi todennäköisyys. A3 vastaa De Finettin vaihdettavuusehtoa (vrt. ). Siitä seuraa, että todennäköisyys P (Qi (an+1/e) riippuu todistusaineistosta e vain lukujen n1,…,nK kautta, niin että se on riippumaton E. A4: n yksilöiden tarkkailujärjestyksessä toteaa, että Q-predikaatit ovat symmetrisiä: P (Qi) = 1/K kaikille I = 1,…,K. A5 on Johnsonin ”sufficientness postulate” eli Carnapin ”prediktiivisen irrelevanssin aksiooma”. Sen mukaan edustava funktio P(Qi (an+1/e) on riippumaton muissa soluissa kuin Qi Havaittujen yksilöiden luvuista nj,j ≠ i (kunhan summa n1 + … + nk = n).

jossa

λ=Kf(0,1)1−Kf(0,1).

jos K = 2, todistus edellyttää lisäoletusta, että f on NI: n lineaarinen funktio. Tapaus λ = 0 jätetään A2: n ulkopuolelle. Pudottamalla A4 funktio f (ni,n) saa muodon (2′). Näin ollen näemme, että säännöllinen ja vaihdettavissa induktiivinen todennäköisyys toimenpide on Carnapian jos ja vain jos se täyttää riittävyys postulate A5. Erityisesti Laplacen perinteinen Bayesilainen lähestymistapa todennäköisyydellä C∗ täyttää A5.

aksiooma A5 on hyvin vahva, koska se sulkee pois sen, että ennustavat yksikölliset todennäköisyydet P(Qi (an+1/enc) seuraavasta esiintymästä riippuvat todisteiden moninaisuudesta eli solujen Qi lukumäärästä C siten, että ni > 0. Koska L: n universaalien yleistysten lukumäärä, jonka todistusaineisto e falsifioi, on myös C: n yksinkertainen funktio, aksiooma A5 tekee induktiosta puhtaasti enumeratiivisen ja sulkee pois induktion eliminatiiviset aspektit (KS. Olemme jo nähneet, että Hintikan yleistetyn yhdistetyn järjestelmän edustava funktio (22) riippuu C: stä. Carnapin λ-jatkumon kyvyttömyys käsitellä induktiivista yleistystä on siten onneton seuraus Tausta-oletuksesta A5.

Carnapin λ-jatkumon Carnap-Kemeny-aksiomatisaation yleistivät Hintikka ja Niiniluoto vuonna 1974, joiden mukaan seuraavan tapauksen induktiivinen todennäköisyys (2) on tyyppiä Qi,riippuu havaitusta tyypin Qi suhteellisesta frekvenssistä ni ja näytteessä e olevien erilaisten yksilöiden lukumäärästä C (KS.):

A6 C-periaate: on olemassa funktio f sellainen,että P(Qi(an+1/ENC)=F(ni, n, C)

tässä λ > – K ja

(26)0<yc≤λ / Kc+λ.

näin ollen

P(CK)=1iffyi=δiforalli=1,…,K−1.

toisin sanoen Carnapin λ-jatkumo on K-ulotteisen järjestelmän ainoa erikoistapaus, joka ei määrittele nollasta poikkeavia todennäköisyyksiä joillekin universaaleille yleistyksille. Jälleen Carnapin systeemit osoittautuvat puolueellisiksi siinä mielessä, että se antaa a priori todennäköisyyden atomistiselle osatekijälle CK, joka väittää kaikkien Q-predikaattien olevan instantioituja universumissa U.

kaikkien induktiivisten todennäköisyyksien vähentäminen k-parametreille, jotka koskevat hyvin yksinkertaisten yksiköllisten ennusteiden todennäköisyyksiä, antaa vasta-argumentin Wolfgang Stegmüllerin väitteelle, jonka mukaan ei ole ”järkevää” lyödä vetoa yleisistä yleistyksistä (vrt. ). K-ulotteisessa järjestelmässä veto universaaliin lakiin vastaa k-järjestelmää, jossa lyödään vetoa yksittäisistä lauseista äärellisellä todistusaineistolla.

parametri yc = f(0,c,c) ilmaisee ennakoivaa todennäköisyyttä löytää uudenlainen yksilö C: n erilaisten onnistumisten jälkeen. Tällaisessa todistusaineistossa e Cc: n posteriorinen todennäköisyys lähestyy yhtä YC: n lähestyessä nollaa. Lisäksi P (Cc) laskee, kun yc kasvaa. Parametri yw toimii siten varovaisuusindeksinä aineosille, joiden leveys on W. vaikka Hintikan kaksiulotteisessa järjestelmässä on yksi yleispessimismin indeksi α aineosien totuudesta CW, w < K, K-ulotteisessa järjestelmässä on erillinen pessimismin indeksi jokaiselle leveydelle w < K.

K − ulotteinen järjestelmä sallii aineosien aikaisempien todennäköisyyksien joustavammat jakaumat kuin Hintikan α-λ-jatkumo. Esimerkiksi periaatetta (19) voidaan rikkoa. Yksi voidaan jakaa ennen todennäköisyys yhtä ensin lauseita Sw (w = 0,…,K), jotka toteavat, että on olemassa w erilaisia yksilöitä maailmankaikkeudessa. Tällaiset ”rakenneosarakenteet” Sw ovat (wK) rakenneosien disjunktioita Cw leveydeltä w. tämän ehdotuksen teki Carnap kommentoidessaan Hintikan järjestelmää (KS.; vrt. ).

olettaen, että parametreilla yc ei ole Karnapian-arvojaan, voidaan esittää

(27)P(Qi(an+1)/e& Cw)=ni+λ/Kn+wλ/K.

Vertailu formula_15: een osoittaa, että λ-jatkumon lisäksi K-ulotteisen systeemin ja Hintikan α − λ-systeemin leikkauspisteessä on ne jälkimmäisen jäsenet, jotka täyttävät ehdon, että λ funktiona W on aw jollekin vakiolle a > 0,3 Tapaus A = 1 on Hintikan yleistetty yhdistetty systeemi (vrt. (15′)). Tämä uusi tapa motivoida tätä järjestelmää osoittaa sen luonnollisuutta. Eri induktiivisten järjestelmien suhteita tutkii yksityiskohtaisesti Theo Kuipers .4

tästä seuraa (27), että K-ulotteinen järjestelmä täyttää Reichenbachin Aksiooman (3) ja Instantiaalisen positiivisen relevanssin (4).

induktiivisen yleistyksen perusedellytys (13) täyttyy aina, kun parametrit yi valitaan optimistisemmin kuin niiden Karnapian arvot:

(28)Josyi<δi, fori=c,…, K-1, thenP(Cc/e)→1whenn→∞andcisfixed.

tämä tulos osoittaa jälleen, että paljon puhuttu Carnapin λ-jatkumon tulos, viz. universaalien lakien nollavahvistus on oikeastaan induktiivisen logiikan järjestelmän sattumanvarainen piirre. Tästä ominaisuudesta päästään eroon heikentämällä λ-periaatetta A5 c-periaatteeseen A6.

Vastaa

Sähköpostiosoitettasi ei julkaista.