¿Por qué/Cómo es true PV=k true cierto en un gas ideal?

Probablemente hay varias maneras de abordar esto, pero creo que una forma sencilla y agradable es considerar el mecanismo microscópico que produce presión.

Imagine un contenedor esférico de algún radio r r with con solo una partícula de gas en él. Nuestra partícula de gas tiene una masa m m and y una velocidad v v..

 Presión

Cuando la partícula de gas golpea las paredes del recipiente y rebota, ejerce una fuerza en las paredes del recipiente. Esto es lo mismo que si te tiro un objeto pesado para que el objeto ejerza una fuerza sobre ti cuando te golpee. Para calcular esta fuerza, debe saber que la fuerza es la misma que la tasa de cambio del momento.

En cada colisión, la velocidad de las partículas cambia de $v$ a $v$, por lo que el impulso de los cambios de $mv$ a $-mv$, por lo que el cambio de momentum es de $\Delta p = 2mv$.

El tiempo que tarda la partícula en cruzar la esfera es $\tau = 2r/v., por lo que el número de colisiones por segundo es f f = 1/\tau = v / 2r..

Y la tasa de cambio de impulso iof, p. ej. la fuerza ‘ es solo el cambio de impulso por colisión \ \ Delta p times multiplicado por el número de colisiones por segundo f f$:

$$ F = \ Delta p f = 2mv \frac{v}{2r} = \frac{mv^2} {r}

Y finalmente, la presión es fuerza por unidad de área y el área de la esfera es $ 4 \ pi r ^ 2 2, por lo que terminamos con la ecuación para la presión:

P P = \ frac {F} {A} = \ frac {mv ^ 2} {4 \ pi r ^ 3} \tag{1} $$

Ahora preguntaste ¿cómo es que la presión es inversamente proporcional al volumen? Bueno, el volumen de una esfera es:

$ $ V = \ tfrac {4} {3}\pi r^3 $$

Y podemos sustituir esto en nuestra ecuación (1) para obtener:

P P = \ frac {F} {A} = \ frac {mv ^ 2} {3V} \tag{2} $$

Así que encontramos que P P \ propto 1 / V$.

Si está interesado, podemos hacerlo mejor porque la equipartición de energía indica que la energía cinética de la partícula a una temperatura about T be será de aproximadamente \ \ tfrac{3} {2} kT k. Así, obtenemos:

$$ \tfrac{1}{2}mv^2 = \tfrac{3}{2}kT $$

y podemos usar este sustituto de $mv^2$ en la ecuación (2) para obtener:

P P = \ frac {kT} {V} \tag{3} $$

Así que también tenemos la ley de Guy-Lussac P P \ propto T T.

Y hay un último paso. Todo esto fue por una sola partícula. Si tenemos un mol de gas, entonces es particles N_a particles partículas, donde N N_a is es el número de Avagadro. Cada partícula es el que aporta el mismo impulso de cambio, por lo que la fuerza total de todas las partículas es simplemente:

$$ P = \frac{N_a kT}{V} $$

Y el producto de $N_a k$ es sólo el ideal constante de gas $R$ así que nuestra última ecuación es:

P P = \frac{RT} {V}

que debe reconocer inmediatamente como la ley de gas ideal.

Ahora he jugado bastante rápido y suelto con esta derivación y hay todo tipo de objeciones. Por ejemplo, las moléculas de gas tienen un rango de velocidades y no todas golpean las paredes directamente. Sin embargo, el espíritu de la derivación está bien incluso si el detalle no lo está, y esperamos que esto ayude a explicar exactamente por qué la ley de gas ideal tiene la forma que tiene.

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