Flexión de Vigas

5.2 Flexión Pura de Vigas de Sección Transversal Simétrica

El caso más simple de flexión pura es el de una viga que posee un eje vertical de simetría, sujeta a pares de extremos iguales y opuestos (Fig. 5.1 a). Ahora se aplica el método semi-inverso para analizar este problema. El momento M z mostrado en la Fig. 5.1 a se define como positivo, porque actúa sobre una cara positiva (negativa) con su vector en la dirección de coordenadas positiva (negativa). Esta convención de signos concuerda con la del estrés (Sección 1.5). Asumiremos que la tensión normal sobre la sección transversal varía linealmente con y y que los componentes de tensión restantes son cero:

Figura 5.1. (a) Viga de sección transversal simétrica única en flexión pura; (b) distribución de tensiones a través de la sección transversal de la viga.

Aquí k es una constante, y y = 0 contiene la superficie neutral, es decir, la superficie a lo largo de la cual σx = 0 La intersección de la superficie neutral y la sección transversal localiza el eje neutral (abreviado NA). Gráfico 51b muestra el campo de tensión lineal en una sección situada a una distancia arbitraria a del extremo izquierdo.

Desde las NCA. (5.1) indicar que las superficies laterales están libres de tensiones, solo necesitamos estar seguros de que las tensiones son consistentes con las condiciones de contorno en los extremos. Estas condiciones de equilibrio requieren que la resultante de los esfuerzos internos sea cero y que los momentos de los esfuerzos internos alrededor del eje neutro sean iguales al momento aplicado

donde A es el área de la sección transversal. Tenga en cuenta que los componentes de tensión cero txy, txz en ecualizadores. (5.1) satisfacer las condiciones de que no existan fuerzas dirigidas a y y z en los extremos. Además, debido a la simetría y de la sección, σx = ky no produce ningún momento sobre el eje y. El signo negativo en la segunda expresión implica que un momento positivo mz es aquel que resulta en un esfuerzo de compresión (negativo) en puntos de y positivo. (5.1) en las Nca. (5.2) produce

Desde k ≠ 0, Ec. (5.3 a) indica que el primer momento del área de la sección transversal alrededor del eje neutro es cero. Esto requiere que los ejes neutro y centroidal de la sección transversal coincidan. Dejando de lado las fuerzas del cuerpo, está claro que las ecuaciones de equilibrio (3.4), se satisfacen con ecualizadores. (5.1). También se puede verificar fácilmente que las NCA. (5.1) junto con la ley de Hooke cumplen las condiciones de compatibilidad, la Ec. (2.12). Por lo tanto, las ecualizaciones. (5.1) representa una solución exacta.

La integral en Ec. (5.3 b) define el momento de inercia Iz de la sección transversal sobre el eje z de la sección transversal de la viga (Apéndice C); por lo tanto,

Ahora se puede escribir una expresión para la tensión normal combinando ecualizadores. (5.1) y (a):

Esta es la fórmula de flexión elástica familiar aplicable a vigas rectas.

Dado que, en una sección dada, M e I son constantes, la tensión máxima se obtiene a partir de la Ec. (5.4) tomando |y|max = c:

donde S es el módulo de sección elástica. La ecuación (5.5) se emplea ampliamente en la práctica debido a su simplicidad. Para facilitar su uso, los módulos de sección para numerosas secciones comunes se tabulan en varios manuales. Un estrés ficticio en fibras extremas, calculado a partir de la Ec. (5.5) para el momento de flexión final obtenido experimentalmente (Sección 12.7), se denomina módulo de ruptura del material en flexión. Esta cantidad, σmax = Mu/S, se utiliza con frecuencia como medida de la resistencia a la flexión de los materiales.

5.2.1 Relaciones cinemáticas

Para obtener más información sobre el problema del haz, ahora consideramos la geometría de la deformación, es decir, la cinemática del haz. Fundamental para esta discusión es la hipótesis de que las secciones originalmente planas siguen siendo tan posteriores a la flexión. Para una viga de sección transversal simétrica, ley de Hooke y ecualización. (5.4) conducir a

donde EIz es la rigidez a flexión.

Examinemos la desviación del eje del haz, cuya deformación axial es cero. La Figura 5.2 a muestra un elemento de una viga inicialmente recta, ahora en un estado deformado. Debido a que la viga está sometida a una flexión pura, uniforme en todo, cada elemento de longitud infinitesimal experimenta una deformación idéntica, con el resultado de que la curvatura de la viga es la misma en todas partes. El eje desviado de la viga o la curva de desviación se muestra así deformado, con radio de curvatura rx. La curvatura del eje de la viga en el plano xy en términos de la desviación y es

Figura 5.2. a) Segmento de una viga doblada; b) geometría de deformación.

donde la forma aproximada es válida para pequeñas deformaciones (du / dx 1 1). La convención de signos para la curvatura del eje de la viga es tal que este signo es positivo cuando la viga está doblada cóncava hacia abajo, como se muestra en la figura.

Como se muestra en la geometría de la Fig. 5.2 b, los sectores sombreados son similares. Por lo tanto, el radio de curvatura y la deformación están relacionados de la siguiente manera:

donde ds es la longitud de arco mn a lo largo del eje longitudinal de la viga. Para un desplazamiento pequeño, ds ≈ dx y θ representan la pendiente du / dx del eje del haz. Claramente, para la curvatura positiva que se muestra en la Fig. 5.2 a, θ aumenta a medida que nos movemos de izquierda a derecha a lo largo del eje del haz. Sobre la base de las NCA. (5.6) y (5.8),

Siguiendo un procedimiento similar y observando que ez ≈ – Vex, también podemos obtener la curvatura en el plano yz como

La ecuación básica de la curva de desviación de un haz se obtiene combinando ecualizadores. (5.7) y (5.9 a) según se indica a continuación:

Esta expresión, que relaciona la curvatura del haz con el momento de flexión, se conoce como la ley de Bernoulli—Euler de la teoría de flexión elemental. Se observa en la Fig. 5.2 y Ec. (5.10) que un momento positivo produce una curvatura positiva. Si la convención de signos adoptada en esta sección para momento o desviación (y curvatura) se invierte, el signo más en la Ec. (5.10) también debería invertirse.

Referencia a la Fig. 5.2 a revela que las superficies laterales superior e inferior se han deformado en superficies en forma de silla de montar o anticlásticas de curvatura 1 / rz. Los lados verticales se han girado simultáneamente como resultado de la flexión. Examinando la Ec. (5.9 b) sugiere un método para determinar la proporción de Poisson . Para una viga y un momento de flexión dados, una medición de 1/rz conduce directamente a v. El efecto de la curvatura anticlástica es pequeño cuando la profundidad de la viga es comparable a su anchura.

5.2.2 Teoría de vigas de Timoshenko

La teoría de vigas de Timoshenko, desarrollada por S. P. Timoshenko a principios del siglo XX, constituye una mejora con respecto a la teoría de Euler—Bernoulli. En el caso estático, la diferencia entre las dos hipótesis es que la primera incluye el efecto de las tensiones de cizallamiento en la deformación asumiendo una cizallamiento constante sobre la altura de la viga, mientras que la segunda ignora la influencia de la cizallamiento transversal en la deformación de la viga. También se dice que la teoría de Timoshenko es una extensión de la teoría del haz ordinario que permite el efecto de la deformación de corte transversal al tiempo que relaja la suposición de que las secciones planas permanecen planas y normales al eje del haz deformado.

La teoría de haces de Timoshenko es adecuada para describir el comportamiento de haces cortos y haces compuestos sándwich. En el caso dinámico, la teoría incorpora la deformación por cizallamiento, así como los efectos de inercia rotacional, y será más precisa para vigas no muy delgadas. Al tener en cuenta de manera efectiva el mecanismo de deformación, la teoría de Timoshenko reduce la rigidez del haz, con el resultado de una mayor desviación bajo carga estática y frecuencias fundamentales de vibración predichas más bajas para un conjunto prescrito de condiciones de contorno.

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