er kvadratisk vækst et generelt fænomen?

hvis du er træt af mine indlæg om demografi, skal du slappe af: hvad jeg vil udvikle nedenfor handler ikke om befolkningsvækst i første omgang, men om økonomisk vækst og hvordan man fortolker den. For at komme i gang er her et spørgsmål til dig:

se på denne graf. Hvad ser du?

mange mennesker vil svare: Dette er eksponentiel vækst!

jeg har dog narret dig. Hvad du ser er en kvadratisk funktion. På et intuitivt niveau identificerer du eksponentiel vækst på denne måde: Funktionen går op, og dens hældning går også op på toppen, dvs. funktionen vokser hurtigere og hurtigere. Derfor skal dette være den eksponentielle funktion! Alligevel gælder alle kriterierne også for den kvadratiske funktion: H2. Dets derivat er 2**, hvilket betyder, at hældningen altid er positiv og øges, når funktionen vokser.

en yderligere grund til, at jeg kunne narre dig, er, at jeg skrev om økonomisk vækst i starten og også befolkningsvækst, så du forventede sandsynligvis at se en eksponentiel funktion. Fordi det synes indlysende, at dette er go-to-modellen.

men som jeg har argumenteret for befolkningsdynamik: kvadratisk befolkningsvækst er en meget mere plausibel model i en vækstfase end eksponentiel vækst, se her, her, her og her for mere specifikke stillinger. Også de empiriske data er regelmæssigt bedre i overensstemmelse med kvadratisk end eksponentiel vækst. Hvad jeg ikke var klar over først, selvom, var, at denne observation kan have meget bredere implikationer, der går ud over demografi, f.eks. når du fortolker økonomisk vækst.

forskellen mellem den kvadratiske og den eksponentielle funktion er dette: Hvis du beregner vækstrater, dvs. du tager hældningen og deler den med værdien, så for en eksponentiel funktion er dette en konstant:

du har for hældningen: eksp'( r * H) = r * eksp( r * h ).

og efter division med eksp( r * h) får du altid r.

men for en kvadratisk funktion H2 er hældningen 2 * H, og efter division med H2 får du 2 / H for vækstraten, som er en hyperbola, der falder til nul, når du går til uendelig. Med andre ord vokser den eksponentielle funktion altid med samme hastighed, mens den kvadratiske funktion har en vækstrate, der går ned til nul. Men længere væk fra nul falder vækstraten meget langsomt. Det tager uendeligt lang tid at gå til nul. Derfor over endelige intervaller væk fra nul, dette kan være næsten en konstant, som kan se vildledende ud som om du har en eksponentiel funktion. Det er svært at sige. Og derfor er det ikke let at identificere, hvad der er, især ikke hvis du prøver at gøre det visuelt. Og hvis du forventer en eksponentiel funktion.

— — —

en kvadratisk funktion ser ud til at komme ud af ingenting. Hvorfor ville du forvente det i enhver sammenhæng overhovedet? Det virker fuldstændig vilkårligt.

der er dog et simpelt argument, hvorfor du bør forvente det i mange situationer. Jeg udviklede dette først til den demografiske sag, men som jeg nu er klar over, er det ikke det eneste eksempel, hvor noget som dette kan ske.

Antag, at du har væsener, der lever i det væsentlige på et todimensionelt plan, ligesom mennesker. Dette er en idealisering, fordi vi lever på en kugle, men som en første tilnærmelse er det ikke for langt væk. Jeg vil håndtere problemerne i et øjeblik, der opstår som følge af denne forenkling.

Antag nu også, at der er en vis mængde interesse i det demografiske tilfælde: befolkningstæthed, men det kan også være noget andet, og denne mængde er først på et lavere niveau, men går derefter op til et højere niveau. Der er mange måder, hvordan dette kunne fungere. Et ekstremt tilfælde ville være, at niveauet bare springer op. Det er klart, at dette ikke er muligt for befolkningstætheden. En anden måde at forbinde niveauerne på ville være med en logistisk funktion, der fremskynder op til halvdelen af forskellen mellem niveauerne og derefter bremser symmetrisk, når du nærmer dig det højere niveau nedenfra.

hvad angår befolkning, synes jeg, det er noget ret ens, men med en vri: der er befolkningsmoment. Hvis du har yderligere børn ud over udskiftningsniveauet, så vil de have yderligere børn og børnebørn ned ad linjen. Da generationer overlapper hinanden (de fleste mennesker lever længe nok til at se deres børn og endda børnebørn vokse op), kommer disse ekstra efterkommere på toppen. Det betyder, at befolkningen fortsætter med at vokse i omkring et halvt århundrede, efter at fertiliteten oversteg udskiftningsniveauet, hvilket kan ske, selvom fertiliteten går ned eller under udskiftningsniveauet parallelt.

denne forsinkede effekt gør det svært at gå til det højere niveau. Enhver beslutning har nu konsekvenser i årtier. Og så en befolkning, der forsøger at gå til det højere niveau, kan overskride det. Derefter skal den rette sin størrelse nedad igen, hvilket har en momentumeffekt i den anden retning, og så har du en anden runde med overskridelse og undershooting. Hvis befolkningen gør det rigtigt, vil disse svingninger dø ned over tid, og befolkningsstørrelsen konvergerer til det højere niveau. Men dybest set er dette en slags logistisk vækst kun med forsinkelser fra fortiden, der gør tingene klæbrige og introducerer nogle svingninger omkring det højere niveau.

— — —

men overgangen kan fungere, det er hvad der sker på et sted. Antag nu, at dette skift fra et lavere til et højere niveau først sker på et tidspunkt, et center og derefter udvides med en konstant hastighed over det uendelige plan. Det er især let at forstå, hvad der sker, hvis du antager et pludseligt spring fra det lavere niveau til det højere niveau, ikke en mere kompliceret funktion som den logistiske funktion og endda med forsinkelser.

først springer niveauet op på det centrale punkt. Men da dette spreder sig konstant, har du to forskellige regioner. Enten har du det lavere eller det højere niveau. Det højere niveau gælder for alle punkter i en bold omkring midten med en vis radius. Udenfor har du stadig det lavere niveau. Da jeg antog en konstant ekspansionshastighed, vokser kuglens radius lineært i tide. Og det betyder, at kuglens område vokser kvadratisk. Du har to dimensioner, hvordan det udvides. Derfor, hvis man ser på den samlede forskel, er det bare område gange forskellen mellem det højere og det lavere niveau. Sidstnævnte er en konstant (efter min antagelse), og førstnævnte er en kvadratisk funktion, så dette er en kvadratisk funktion. Og det er hvad du bør forvente i en sådan situation. Ikke eksponentiel vækst!

det bliver lidt mere kompliceret, hvis du har en overgang fra det lavere til det højere niveau, der ikke er så simpelt som et spring. Men så kan du se på en linje, der løber fra grænsen til midten. Ved grænsen var der ingen tid til at gennemgå overgangen, så du er stadig på det lavere niveau. Men når du bevæger dig indad, var der mere og mere tid. Da radius udvides med en konstant hastighed, ser du nu adfærden på et sted træne, når du bevæger dig mod midten, kun med en forvrængning på grund af en konstant hastighed.

hvis overgangen konvergerer til det højere niveau over tid på et sted, og udvidelsen er gået længe nok, vil du have, at niveauet for punkter i det indre er næsten det højere niveau. Overgangen sker på et område tæt på grænsen. Det har altid en fast dybde, før niveauet er tæt på det højere i det indre.

efterhånden som bolden vokser, er mere og mere af det tæt på det højere niveau. Overgangsområdet har et område, der vokser lineært, det har en fast dybde og vokser kun som omkredsen, en endimensionel enhed. Dets område er derfor kun en lineær funktion i tide. Men det betyder, at andelen af overgangsområdet i bolden falder til nul. Det meste af bolden er næsten på højt niveau, og kun en svindende andel er et sted mellem niveauerne. Alt i alt er dette en noget udglattet version af sagen med et pludseligt spring. For det meste er det det samme bortset fra et overgangsområde, hvis relative bidrag går til nul. Derfor har du også næsten kvadratisk vækst i dette tilfælde, i det mindste efter en indledende fase med meget små bolde, måske hvor adfærden på et sted dominerer.

— — —

fra dette udsigtspunkt er det også klart, hvorfor eksponentiel vækst faktisk er umulig for væsener, der lever i to dimensioner. Det fremskynder meget hurtigere end kvadratisk vækst. Du kan dog kun have det med en konstant udvidelseshastighed, hvis niveauet ikke kun går til en højere værdi, men til uendelig. Dybest set skal du have en eksponentiel funktion divideret med en kvadratisk funktion for niveauet (tænk på det som et spring) for at få en eksponentiel funktion i aggregatet. Den eksponentielle funktion er imidlertid stærkere asymptotisk (som tiden går til uendelig) end en kvadratisk funktion, og så går forholdet til uendelig. Men hvis Væsenerne har brug for et minimum af plads, kan befolkningstætheden bare ikke gå til uendelig.

den anden vej ud, du måske prøver, er at udvide kuglerne med mere end en konstant hastighed. Men så skal du have, at radius udvides som kvadratroden af en eksponentiel funktion. Kun på denne måde kan du få en eksponentiel funktion, hvis niveauet kun stiger med et endeligt beløb. Kvadratroden af en eksponentiel funktion er imidlertid eksp (r * H / 2), som er en eksponentiel funktion i sig selv og dermed går til uendelig. Og det er heller ikke muligt for væsener, der har en vis hastighedsgrænse. Også at kombinere de to måder hjælper dig ikke, mindst en skal gå til uendelig.

at understrege dette punkt: Eksponentiel vækst er faktisk meget stærk asymptotcally, men det betyder, at det er umuligt for væsener, selv under de mest gunstige omstændigheder, der i det væsentlige lever i to dimensioner, har brug for et minimum af plads og kun kan ekspandere med en endelig hastighed. Det er endda tilfældet, hvis du antager et uendeligt plan med et uendeligt område og ingen begrænsning for fødevareforsyningen eller noget andet overhovedet. Malthusians hele bekymring over den asymptotiske sag er fuldstændig meningsløs, fordi eksponentiel vækst er umulig for væsener som mennesker allerede i teorien.

hvis jeg narrede dig med den kvadratiske funktion ovenfor, så føl dig ikke trist, i sammenhæng med befolkninger bliver alle narret af dette, fordi Thomas Malthus rodede dette op med sin besættelse af den eksponentielle funktion. Du får den regelmæssige påstand om, at bakterier viser eksponentiel vækst. Men hvis de vokser i to dimensioner med en endelig hastighed og et minimum for deres størrelse, f.eks. på en petriskål har de kvadratisk vækst. Periode.

der er en hel genre af bakterier Videoer, Se her på for Escherichia coli alene. Og du vil have mange mennesker, der ser på disse videoer og udbryder: “hold da op, dette er eksponentiel vækst!”Men vær opmærksom, cellekolonierne udvides med en regelmæssig hastighed, dvs. hvad du faktisk ser er kvadratisk vækst. Hvis bakterier kan vokse i tre dimensioner, fører det samme argument til kubisk vækst, som stadig er meget langsommere end eksponentiel vækst asymptotisk. Kun i en suspension, hvor der oprindeligt er meget plads, og hvis du hvirvler cellerne rundt, så de ikke kommer i vejen for andre celler, kan du have eksponentiel vækst i nogen tid. Indtil det er forbi.

— — —

for at opsummere denne del: hvis du har en mængde, der går op fra et lavere til et højere niveau på et sted, måske med et spring eller også i en glattere version af dette, og området udvides derfra, så finder du noget, der er tæt på kvadratisk vækst. Det må være den naturlige antagelse her, ikke eksponentiel vækst.

du kan gøre indsigelse mod, at der kunne være flere centre. For eksempel går nogle fra den første koloni til et langt væk sted og starter deres egen koloni. Bemærk, at dette allerede betyder, at du fikler med ekspansionshastigheden. Det kan selvfølgelig ske. Men så længe de to kolonier forbliver adskilte, har du kun en sum af to kvadratiske funktioner, som igen er en kvadratisk funktion. Så snart de to kolonier vokser sammen, bliver det langsommere, ikke hurtigere, fordi de kommer i vejen for hinanden.

nu, for at adressere punktet ovenfor, at vi ikke er på et uendeligt plan, men på en endelig sfære: hvis vi først ser bort fra, at der er endnu mere til det, hele geografien og ser planeten som en billardkugle, fungerer ekspansion med en konstant hastighed i starten næsten som på et uendeligt plan. Lokalt er en kugle godt tilnærmet af et plan. Da en kugle imidlertid har en positiv krumning, udvides området i kugler omkring et center langsommere end på et uendeligt plan. Når udvidelsen allerede er gået fra Polen til ækvator, bliver det endnu værre. Og til sidst, når du når den modsatte pol, er det forbi.

det betyder dog, at væksten på en sfære er endnu langsommere end kvadratisk vækst, og derfor er den stadig længere væk fra eksponentiel vækst. Da der i bedste fald er et endeligt område her, stopper væksten endda fra et tidspunkt, mens den på et uendeligt plan kan fortsætte for evigt.

dette er stadig ikke realistisk, fordi vores planet ikke er en billardkugle, men har mere struktur. Så ekspansion kan allerede stoppe meget tidligere, f.eks. når du når havene. Det gør væksten dog stadig langsommere. Hvis du allerede har udvidet i den øverste halvdel af en region som en halvø, og udvidelsen effektivt kun er i den ortogonale retning, bliver væksten lineær. Og så vil det sænke yderligere, indtil det går i stå. Derfor er den faktiske adfærd på en kugle plus en kompliceret geografi i bedste fald kvadratisk vækst i starten, vil derefter falde til lineær vækst og sprænge ud til sidst.

det afgørende punkt her er, at hvad der sker på et sted, betyder ikke meget for adfærden samlet set, hvordan du går fra det lavere til det højere niveau, så længe ekspansionshastigheden er lav. Kun hvis udvidelsen gik straks til hele verden, ville du se adfærden på et sted overalt og dermed også samlet. Hvis ekspansionshastigheden er langsom nok til, at det meste af en bold er næsten på det højere niveau, dominerer effekten fra ekspansion og er det, du ser samlet. Med andre ord vil du have noget som kvadratisk vækst oprindeligt i en vækstfase, der senere falder til lineær vækst og derefter løber tør.

— — —

nu har jeg diskuteret dette for befolkningstæthed, der går fra et lavere til et højere niveau. Men så kan du gøre det samme argument for enhver mængde, der også opfører sig som dette på et sted. Dette har intet at gøre med, hvad mængden er, så længe den har en sådan dynamik. Tag for eksempel en vis innovation, der muliggør mere output, men en konstant stigning en gang, ikke en vis vedvarende vækst. Overgangen kan tage lidt tid. Men hvis ekspansionshastigheden er langsom, betyder det ikke så meget, hvordan overgangen fungerer, og du vil have næsten kvadratisk vækst i vækstfasen og så videre.

her er en sjov applikation til dette. Antag, at vi kun har en innovation, der giver meget mere output. Historisk set kunne det have været noget som domesticering af dyr og derefter domesticering af planter. En del af det højere niveau kan være, at innovationen også inducerer et skift for befolkningstæthed opad på et sted, hvilket øger effekten af, hvad det er pr. Og lad os antage alle komplikationer for øjeblikket væk, denne innovation er perfekt lige i starten og behøver ingen yderligere forbedringer. På et sted tager det lidt tid at gå fra det lavere til det højere niveau, men måske ikke meget lang, lad os sige et halvt århundrede for også at imødekomme befolkningstilvæksten til en højere befolkningstæthed. Og så spreder denne innovation sig over hele verden, men den kryber fra et sted til det næste.

selvom det, der sker, kun er en innovation, og der ikke er noget bag det, der driver outputvæksten fremad over tid, vil du så få næsten kvadratisk vækst i lang tid. Det er også meget regelmæssigt. Det kan se ud som eksponentiel vækst, så du kan blive fristet til at se på vækstraterne og fortolke dem som drevet af mange små innovationer, der kommer ind over tid og hæver aggregatet med næsten en konstant hastighed. Men det er slet ikke det her ved antagelse. Hvad du ser er effekten af geografisk ekspansion. Der er ingen nye innovationer, der kommer ind, det er kun en stor innovation i starten, der udvides over hele verden.

nu, med kvadratisk vækst og endnu mere, hvis geografi driver den længere ned, vil du finde faldende vækstrater over tid, som du burde. Imidlertid, med en eksponentiel tankegang og en fortolkning så mange små innovationer, der kommer ind, du vil læse dette som: Innovation var ret hurtig oprindeligt, men så bremsede det. Befolkningen her blev mindre og mindre innovativ. På en måde, der er sandt, fordi der kun var en stor innovation i starten og derefter bogstaveligt talt intet. Endnu, din forståelse vildledes af dine antagelser. Du vil nu prøve at finde ud af, hvad der bremsede innovationen.

du kan gå i cirkler. Måske er der andre mængder, der også udvides parallelt over hele verden, og som også har den samme opførsel. Så du vil finde masser og masser af falske korrelationer, der ligner en forklaring. For eksempel kan du undersøge, hvor mange nye virksomheder der startes pr. Men hvis du starter en ny virksomhed, f.eks. oprettelse af en ny gård, for denne ene innovation udvides også geografisk, du skal finde ud af, at den går ned sammen med økonomisk vækst. For det meste af området er virksomhederne allerede startet, og nye virksomheder kan kun forekomme tæt på grænsen, hvilket er en mindre og mindre brøkdel af det samlede areal. Du taler måske effektivt om den samme ting, og så er det ingen overraskelse, at du finder en forbindelse.

hvis du er tabt, kan du også fortælle en historie om faldende afkast for yderligere innovationer. Men ved antagelse er der ingen alligevel. Du kan også begynde at bekymre dig om befolkningens innovativitet, fortælle “bare så” historier, hvordan det mister sin dynamik og så videre. Alt forkert. Det er ikke, hvad der sker her. Det er en innovation, der udvides geografisk, og som fører til en vis vækstadfærd samlet set, hvor vækstraten skal falde.

her er en anden applikation: Antag, at du igen kun har en innovation i starten, men ekspansionshastigheden går op, ellers forbliver alt det samme. Nu vil dette føre til hurtigere vækst. Men hvis du er i en forklaring med mange langsomme innovationer, der kommer ind, kan du få en helt forkert ide: befolkningen har fundet sin gamle dynamik igen og er blevet mere innovativ. Bortset fra måske en eller et par innovationer, der fremskynder udvidelsen, er dette ikke tilfældet. Og væksten kommer efter det, måske længe efter det. Du vil også bemærke, at tilknyttede mængder som hvor mange virksomheder der er oprettet pr. Men du kigger igen på det forkerte sted.

verden er bestemt ikke så enkel med kun et stort spring. For eksempel kan du også have to store spring. Men så fungerer dette på samme måde, hvis ekspansion er det dominerende bidrag. Du tilføjer to kvadratiske funktioner, og det er stadig en kvadratisk funktion. Af samme grund virker en indsigelse ikke, at en stor innovation kan komme i mindre stigninger. Det kan selvfølgelig ske. Men hvis hoveddelen er geografisk ekspansion, er det stadig det, du kan se samlet.

eller tænk på en situation, hvor ekspansion blev forpurret i nogen tid. Der var måske nogle store innovationer, men de kunne ikke sprede sig. Så løfter du denne begrænsning for dem alle på en gang. Så det er som et stort skift fra et lavere til et højere niveau. Det skulle resultere i temmelig hurtig vækst efter en periode med stagnation, der senere bremser. Tænk på den store Depression og Anden Verdenskrig og den stærke vækst fra 1945 til 1960 ‘ erne. måske er pointen her ikke, at folk blev mere innovative på det tidspunkt, kun at der var et efterslæb af innovationer, der derefter kunne blive effektive som et stort spring. På en måde, dette ville være den økonomiske ækvivalent med “baby boom.”

— — —

sondringen mellem disse to fortolkninger, eksponentiel og kvadratisk vækst, er især vigtig, hvis du vil ekstrapolere til fremtiden, især den fjerne fremtid. Den eksponentielle funktion fremskynder mere og mere. Men en proces, der grundlæggende er ved geografisk ekspansion, vokser i bedste fald kvadratisk og skal senere endda bremse og stoppe. Over en kort periode kan de to modeller se vildledende ens ud. Men som jeg har demonstreret i et af mine tidligere indlæg for befolkningen i England, hvilken du vælger kan gøre en enorm forskel for prognoser.

hvad jeg gjorde i mit indlæg er at bruge en dataserie fra 1815 til 1869 for befolkningen i England. Så gjorde jeg en pasform med en eksponentiel og en kvadratisk model. Bemærk, at allerede på dataene fungerer den kvadratiske model lidt bedre, men begge ser ret godt ud som en forklaring. Hvis du derefter bruger dette til at ekstrapolere og forudsige befolkningsstørrelse i 2015, får du 145 millioner til den eksponentielle model, hvilket er latterligt falsk. Den kvadratiske model, som skal være en overvurdering på grund af den underliggende geografi, giver 69 millioner, hvilket i det mindste er i den rigtige ballpark: England havde en befolkning på omkring 55 millioner i 2015.

det mere grundlæggende punkt her er, at det kan være vildledende at se på ting via vækstrater, der gør dig partisk mod eksponentiel tænkning. Hvis den underliggende proces mere ligner et skift fra et lavere til et højere niveau, og som udvides i to dimensioner, ville den naturlige model, i det mindste i vækstfasen, være kvadratisk vækst. Vækstrater, der sænker, bør ikke være en overraskelse da. Og det er også nytteløst at forsøge at relatere dem til andre mængder og jage efter processer, der driver innovation ned. Det kunne være en ren artefakt og i værste fald en sammenhæng mellem geografisk ekspansion med sig selv.

selvom det kan synes indlysende med en eksponentiel tankegang, at der altid er en vis kraft, der driver tingene fremad med en konstant vækstrate, synes det faktisk langt mere realistisk for mig at se økonomisk vækst som at gå fra et lavere til et højere niveau med en vis innovation og derefter forblive der, medmindre du har en anden ide. I så fald kan du ikke ekstrapolere som med en eksponentiel funktion. Det afhænger af, om yderligere innovationer virkelig realiseres, hvilket måske bare afhænger af, om de er i kortene i øjeblikket eller ej. Folk kunne tæmme dyr, den ene art efter den anden. Men fra et tidspunkt kunne du ikke tvinge nye arter til domesticering til eksistens. Og du kunne heller ikke gøre dette med planter.

den naturlige antagelse fra et sådant udsigtspunkt er, at du ser skift fra lavere til højere niveauer, der træner langsomt over tid, først med kvadratisk, senere med lineær vækst og derefter stabiliseres på det højere niveau. Når der er yderligere innovationer, der hæver niveauet endnu højere, så går du til det næste plateau osv. Der er ingen grund til at forvente, at dette fortsætter med vilkårligt høje niveauer. Lige så vidt innovationerne bærer os.

sikkert, du kan ikke forudsige med det så ubesværet som med en eksponentiel funktion, fordi det i sagens natur er ukendt, hvad der vil ske med hensyn til yderligere innovationer. Men så er det måske realistisk at give dette punkt og bare afholde sig fra uberettiget ekstrapolering. Alt hvad du derefter kunne gøre med en vis begrundelse er at ekstrapolere de processer, der måske allerede er i gang, og kun som en overgang til et højere niveau, ikke som starten på eksponentiel vækst med en konstant hastighed til uendelig.

Skriv et svar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret.