Reellwertige Funktion

3 Axiomatische Induktive Logik

Ziel der axiomatischen induktiven Logik ist es, allgemeine Rationalitätsprinzipien zu finden, die die Klasse akzeptabler Wahrscheinlichkeitsmaße eingrenzen. Die erste axiomatische Behandlung dieser Art wurde von W. E. Johnson (vgl. ). Seine wichtigsten Ergebnisse wurden unabhängig und ohne Bezug zu ihm von Kemeny und Carnap 1952-54 wiederentdeckt (siehe ).

Für die Befürworter der persönlichen Wahrscheinlichkeit ist A1 die einzige allgemeine Einschränkung rationaler Glaubensgrade. Es garantiert, dass Wahrscheinlichkeiten als kohärente Wettquoten dienen. A2 schließt aus, dass ein kontingenter singulärer Satz die vorherige Wahrscheinlichkeit eins hat. A3 entspricht De Finettis Bedingung der Austauschbarkeit (vgl. ). Es bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit P (Qi (an + 1 / e) nur durch die Zahlen n1, …, nK von Beweisen e abhängt, so dass sie unabhängig von der Reihenfolge der Beobachtung der Individuen in e ist. A4 besagt, dass die Q-Prädikate symmetrisch sind: P (Qi) = 1 / K für alle i = 1, …, K. A5 ist Johnsons „Sufficientness-Postulat“ oder Carnaps „Axiom der prädiktiven Irrelevanz“. Es besagt, dass die repräsentative Funktion P(Qi(an+1/e) unabhängig von den Zahlen nj, j ≠ i beobachteter Individuen in anderen Zellen als Qi ist (solange die Summe n1 + … + nK = n).

wobei

λ=Kf(0,1)1−Kf(0,1).

Wenn K = 2 ist, erfordert der Beweis die zusätzliche Annahme, dass f eine lineare Funktion von ni ist. Der Fall λ = 0 wird durch A2 ausgeschlossen. Durch Fallenlassen von A4 hat die Funktion f(ni,n) die Form (2′). Daher sehen wir, dass ein regelmäßiges und austauschbares induktives Wahrscheinlichkeitsmaß genau dann Carnapian ist, wenn es das Suffizienzpostulat A5 erfüllt. Insbesondere erfüllt der traditionelle Bayes’sche Ansatz von Laplace mit der Wahrscheinlichkeit c∗ A5.

Axiom A5 ist sehr stark, da es ausschließt, dass prädiktive singuläre Wahrscheinlichkeiten P(Qi(an+1/ enc) über die nächste Instanz von der Vielfalt der Beweise abhängenenc, dh von der Anzahl c der Zellen Qi, so dass ni > 0. Da die Anzahl der universellen Verallgemeinerungen in L, die der Beweis e verfälscht, auch eine einfache Funktion von c ist, macht Axiom A5 die Induktion rein aufzählbar und schließt die eliminativen Aspekte der Induktion aus (siehe ). Wir haben bereits gesehen, dass die repräsentative Funktion (22) von Hintikkas verallgemeinertem kombiniertem System von c abhängt. Die Unfähigkeit von Carnaps λ-Kontinuum, mit induktiver Verallgemeinerung umzugehen, ist daher eine unglückliche Folge der Hintergrundannahme A5.

Die Carnap-Kemeny-Axiomatisierung des Carnapschen λ-Kontinuums wurde 1974 von Hintikka und Niiniluoto verallgemeinert, die erlaubten, dass die induktive Wahrscheinlichkeit (2), dass der nächste Fall vom Typ Qi ist, von der beobachteten relativen Häufigkeit ni der Art Qi und von der Anzahl c verschiedener Arten von Individuen in der Stichprobe e abhängt (siehe ):

A6 c-Prinzip: Es gibt eine Funktion f, so dass P(Qi (an+ 1/enc) = f (ni, n, c)

Hier λ > −K und

(26)0< yz≤λ/Kz+λ.

Daher

P(CK)=1iffyi=δiffyi=1,…, K−1.

Mit anderen Worten, Carnaps λ-Kontinuum ist der einzige Spezialfall des K-dimensionalen Systems, der einigen universellen Verallgemeinerungen keine Wahrscheinlichkeiten ungleich Null zuschreibt. Auch hier erweist sich Carnaps System als voreingenommen in dem Sinne, dass es dem atomistischen Bestandteil CK, der behauptet, alle Q-Prädikate seien im Universum U instanziiert, a priori die Wahrscheinlichkeit eins zuweist.

Die Reduktion aller induktiven Wahrscheinlichkeiten auf K Parameter, die Wahrscheinlichkeiten sehr einfacher singulärer Vorhersagen betreffen, liefert ein Gegenargument zu Wolfgang Stegmüllers Behauptung, dass es nicht „sinnvoll“ sei, auf universelle Verallgemeinerungen zu setzen (vgl. ). Im K-dimensionalen System entspricht eine Wette auf ein universelles Gesetz einem System von K Wetten auf singuläre Sätze auf endliche Beweise.

Der Parameter yc = f(0, c,c) drückt die prädiktive Wahrscheinlichkeit aus, nach c unterschiedlichen Erfolgen eine neue Art von Individuum zu finden. Für solche Beweise e nähert sich die posteriore Wahrscheinlichkeit von Cc eins, wenn yc sich Null nähert. Ferner nimmt P (Cc) ab, wenn yc zunimmt. Während Hintikkas zweidimensionales System einen Index α des Gesamtpessimismus über die Wahrheit der Bestandteile Cw,w < K hat, gibt es im K-dimensionalen System einen separaten Index des Pessimismus für jede Breite w < K.

Das K-dimensionale System ermöglicht flexiblere Verteilungen früherer Wahrscheinlichkeiten von Bestandteilen als Hintikkas α −λ-Kontinuum. Zum Beispiel kann Prinzip (19) verletzt werden. Man kann die Wahrscheinlichkeit gleich zuerst in Sätze Sw (w = 0, …, K) teilen, die besagen, dass es w Arten von Individuen im Universum gibt. Solche „konstituierenden Strukturen“ Sw sind Disjunktionen der (wK) Bestandteile Cw der Breite w. Dieser Vorschlag wurde von Carnap in seinem Kommentar zu Hintikkas System gemacht (siehe; cf. ).

Unter der Annahme, dass die Parameter yc ihre Carnapianischen Werte nicht haben, kann man

(27)P(Qi(an+1) /e&Cw)=ni+λ/Kn+wλ/K anzeigen.

Der Vergleich mit Formel (15)zeigt, dass der Schnittpunkt des K-dimensionalen Systems und des Hintikkaschen α- λ−Systems neben dem λ-Kontinuum diejenigen Glieder des letzteren enthält, die die Bedingung erfüllen, dass λ als Funktion von w gleich aw ist für eine Konstante a > 0.3 Der Fall mit a = 1 ist Hintikkas verallgemeinertes kombiniertes System (vgl. (15′)). Diese neue Art, dieses System zu motivieren, zeigt seine Natürlichkeit. Die Zusammenhänge verschiedener induktiver Systeme werden von Theo Kuipers eingehend untersucht.4

Aus (27) folgt, dass das K-dimensionale System Reichenbachs Axiom (3) und die instanzielle positive Relevanz (4) erfüllt.

Die grundlegende Angemessenheitsbedingung (13) der induktiven Verallgemeinerung ist immer dann erfüllt, wenn die Parameter yi optimistischer gewählt werden als ihre Carnapianischen Werte:

(28) Ifyi< δi, fori= c, …, K-1, dannP(Cc / e) → 1wenn →∞ undcifixiert.

Dieses Ergebnis zeigt erneut, dass das viel diskutierte Ergebnis von Carnaps λ-Kontinuum, nämlich. die Nullbestätigung universeller Gesetze ist wirklich ein zufälliges Merkmal eines Systems induktiver Logik. Wir beseitigen dieses Merkmal, indem wir das λ-Prinzip A5 zum c-Prinzip A6 schwächen.

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