Algebra

Algebra ist ein Zweig der Mathematik, der Zahlen, Buchstaben und Zeichen verwendet, um sich auf die verschiedenen arithmetischen Operationen zu beziehen, die ausgeführt werden. Heute wird Algebra als mathematische Ressource in Beziehungen, Strukturen und Quantität verwendet. Elementare Algebra ist die häufigste, da sie arithmetische Operationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division verwendet, da sie im Gegensatz zur Arithmetik Symbole wie x verwendet und am häufigsten anstelle von Zahlen verwendet wird.

Algebra

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Was ist die Algebra

Ist der Zweig, der zur Mathematik gehört, mit dem Sie Rechenprobleme durch Buchstaben, Symbole und Zahlen entwickeln und lösen können, die wiederum Objekte, Subjekte oder Elementgruppen symbolisieren. Dies ermöglicht es, Operationen zu formulieren, die unbekannte Zahlen enthalten, die als Unbekannte bezeichnet werden, und die die Entwicklung von Gleichungen ermöglichen.

Durch die Algebra konnte der Mann durch komplexere Berechnungen, die von Intellektuellen, Mathematikern und Physikern wie Sir Isaac Newton (1643-1727), Leonhard Euler (1707-1783), Pierre de Fermat (1607-1665) oder Carl Friedrich Gauss (1777-1855) entwickelt wurden, im Abstrakten und Generischen, aber auch im fortgeschrittenen Bereich posten, dank dessen Beitrag die Definition der Algebra wie wir es heute kennen.

Nach der Geschichte der Algebra, Diofanto de Alejandría (Geburtsdatum und Tod unbekannt, soll zwischen dem III. und IV. Jahrhundert gelebt haben), war es jedoch wirklich der Vater dieses Zweiges, da er ein Werk namens Arithmetica veröffentlichte, das aus dreizehn Büchern bestand und Probleme mit Gleichungen aufdeckte, die, obwohl sie keinem theoretischen Charakter entsprachen, für allgemeine Lösungen geeignet waren. Dies half zu definieren, was Algebra ist, und unter vielen seiner Beiträge war die Implementierung universeller Symbole für die Darstellung eines Unbekannten innerhalb der Variablen des zu lösenden Problems.

Der Ursprung des Wortes „Algebra“ kommt aus dem Arabischen und bedeutet „Wiederherstellung“ oder „Anerkennung“. In gleicher Weise hat es seine Bedeutung im Lateinischen, was „Reduktion“ entspricht, und obwohl es sich nicht um identische Begriffe handelt, bedeuten sie dasselbe.

Als zusätzliches Werkzeug für das Studium dieses Zweigs können wir auf den algebraischen Rechner zählen, bei dem es sich um Taschenrechner handelt, die algebraische Funktionen grafisch darstellen können. Auf diese Weise können Sie unter anderem Ausdrücke und Diagrammfunktionen integrieren, ableiten, vereinfachen, Matrizen ausführen, Gleichungen lösen, obwohl dieses Tool für eine höhere Ebene besser geeignet ist.

Innerhalb der Algebra ist der algebraische Term, der das Produkt eines numerischen Faktors von mindestens einem Buchstaben ist.; in dem jeder Term seinen numerischen Koeffizienten, seine durch Buchstaben dargestellten Variablen und den Grad des Terms durch Addieren der Exponenten der Literalelemente unterscheiden kann. Dies bedeutet, dass für den algebraischen Term p5qr2 der Koeffizient 1 ist, sein wörtlicher Teil p5qr2 und sein Grad 5+1+2 =8.

Was ist ein algebraischer Ausdruck

Ist ein Ausdruck, der aus ganzzahligen Konstanten, Variablen und algebraischen Operationen besteht. Ein algebraischer Ausdruck besteht aus Zeichen oder Symbolen und besteht aus anderen spezifischen Elementen.

In der elementaren Algebra sowie in der Arithmetik sind die algebraischen Operationen, die zur Lösung von Problemen verwendet werden: Addition oder Addition, Subtraktion oder Subtraktion, Multiplikation, Division, Potenzierung (Multiplikation eines Faktors mehrmals) und Radikation (inverse Operation der Potenzierung).

Die in diesen Operationen verwendeten Vorzeichen sind die gleichen wie in der Arithmetik für Addition (+) und Subtraktion (-), aber für die Multiplikation wird das x (x) durch einen Punkt ( ersetzt.) oder kann mit Gruppierungszeichen dargestellt werden (Beispiel: c. d und(c) (d) gleich dem Element „c“ multipliziert mit dem Element „d“ oder cxd) und in der algebraischen Division werden zwei Punkte (:) verwendet.

Gruppierungszeichen wie Klammern (), Klammern, geschweifte Klammern {} und horizontale Streifen werden ebenfalls verwendet. Die Beziehungszeichen werden ebenfalls verwendet, um anzuzeigen, dass eine Korrelation zwischen zwei Daten besteht, und unter den am häufigsten verwendeten sind gleich (=), größer als (>) und kleiner als (<).

Sie zeichnen sich auch dadurch aus, dass reelle Zahlen (rational, die positiv, negativ und Null einschließen; und irrational, die nicht als Brüche dargestellt werden können) oder Komplexe, die Teil des Realen sind und einen algebraisch geschlossenen Körper bilden.

Dies sind die wichtigsten algebraischen Ausdrücke

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Solche Ausdrücke werden in zwei Typen eingeteilt: die Monomios, die durch Hinzufügen eindeutig sind; und Polynome, die zwei (Binome), drei (Trinome) oder mehr Summanden haben.

Einige Beispiele für Monomios wären: 3x, π

Während einige Polynome sein können: 4 × 2+2x (Binom); 7ab + 3a3 (Trinom)

Es ist wichtig zu erwähnen, dass, wenn die Variable (in diesem Fall „x“) im Nenner oder innerhalb einer Wurzel ist, die Ausdrücke keine Monomios oder Polynome wären.

Was ist lineare Algebra

Dieser Bereich der Mathematik und Algebra untersucht die Konzepte von Vektoren, Matrizen, linearen Gleichungssystemen, Vektorräumen, linearen Transformationen und Matrizen. Wie Sie sehen können, hat die lineare Algebra verschiedene Anwendungen.

Seine Nützlichkeit variiert von der Untersuchung des Raums von Funktionen, die durch eine Menge X (horizontal) bis zu einer Menge Y (vertikal) definiert sind und für Vektor- oder topologische Räume angewendet werden; Differentialgleichungen, die eine Funktion (Wert, der vom zweiten Wert abhängt) mit ihren Ableitungen in Beziehung setzen (momentane Änderungsrate, die dazu führt, dass der Wert einer bestimmten Funktion variiert); Operations Research, das fortschrittliche Analysemethoden anwendet, um fundierte Entscheidungen zu treffen; sogar Engineering.

Eine der Hauptachsen des Studiums der linearen Algebra liegt in Vektorräumen, die durch eine Menge von Vektoren (Segmente einer Linie) und eine Menge von Skalaren (reelle Zahlen, Konstanten oder Komplexe, die Größe, aber nicht die Vektorcharakteristik der Richtung haben) gebildet werden.

Die Hauptvektorräume endlicher Dimension sind drei:

  • Vektoren in Rn, die kartesische Koordinaten darstellen (horizontale X-Achse und vertikale Y-Achse).
  • der Matrizen, die rechteckige Ausdrücke sind (dargestellt durch Zahlen oder Symbole), sind durch eine Anzahl von Zeilen (normalerweise dargestellt durch den Buchstaben „m“) und eine Anzahl von Spalten (dargestellt durch den Buchstaben „n“) gekennzeichnet und werden in Wissenschaft und Technik verwendet.
  • Der Vektorraum von Polynomen in derselben Variablen, gegeben durch Polynome, die den Grad 2 nicht überschreiten, haben reelle Koeffizienten und befinden sich auf der Variablen „x“.

algebraische Funktionen

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bezieht sich auf eine Funktion, die einem algebraischen Ausdruck entspricht und gleichzeitig eine Polynomgleichung erfüllt (Koeffizienten können Monome oder Polynome sein). Sie werden klassifiziert in: rationaler, irrationaler und absoluter Wert.

  • Ganzzahlige rationale Funktionen werden ausgedrückt in:, wobei „P“ und „Q“ zwei Polynome darstellen und „x“ die Variable , wobei „Q“ vom Nullpolynom verschieden ist und die Variable „x“ den Nenner nicht aufhebt.
  • Irrationale Funktionen, in denen der Ausdruck f(x) ein Radikal darstellt, also: . Wenn der Wert von „n“ gerade ist, wird das Radikal so definiert, dass g(x) größer und gleich 0 ist, und es muss das Vorzeichen des Ergebnisses sein, und ohne es könnte er nicht von einer Funktion sprechen, denn für jeden Wert von „x“ hätte zwei Ergebnisse; Wenn der Index des Radikals ungerade ist, ist dies für letzteres nicht erforderlich, da das Ergebnis eindeutig wäre.
  • Absolutwertfunktionen, wobei der Absolutwert einer reellen Zahl ihr numerischer Wert ist, wobei das Vorzeichen beiseite gelassen wird. Zum Beispiel wird 5 der absolute Wert von 5 und -5.

Es gibt explizite algebraische Funktionen, bei denen ihre Variable „y“ aus der Kombination der Variablen „x“ eine begrenzte Anzahl von Malen unter Verwendung von algebraischen Operationen (z. B. algebraische Addition) resultiert, die Potenzerhöhung und Wurzelextraktion umfassen; Dies würde zu y = f (x) führen. Ein Beispiel für diese Art von algebraischer Funktion könnte das folgende sein: y=3x+2 oder was gleich wäre: (x) = 3x+ 2, da „y“ nur in „x“ ausgedrückt wird.

Andererseits gibt es implizite, bei denen die Variable „y“ nicht nur als Funktion der Variablen „x“ ausgedrückt wird, also y≠f(x). Als Beispiel für diese Art von Funktion haben wir: y=5x3y-2

Beispiele für algebraische Funktionen

Es gibt mindestens 30 Arten von algebraischen Funktionen, aber unter den herausragendsten haben wir die folgenden Beispiele:

1. Explizite Funktion: ƒ () = sen

2. Implizite Funktion: yx = 9 × 3 + x-5

3. Polynomfunktion:

a) Konstante: ƒ ()=6

( b) Erster Grad oder linear: ƒ ()=3+4

c) Zweiter Grad oder quadratisch: ƒ()= 2+2+1 oder (+1)2

d) Dritten Grades oder kubisch: ƒ()=2 3+4 2+3 +9

4. Rationale Funktion: ƒ

5. Potentialfunktion: ƒ()=-1

6. Radikale Funktion: ƒ()=

7. Funktion nach Abschnitten: ƒ()=ja 0 ≤ ≤ 5

Was ist Baldor Algebra

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Wenn man darüber spricht, was Baldors Algebra ist, bezieht es sich auf eine Arbeit des Mathematikers, Professors, Schriftstellers und Anwalts Aurelio Baldor (1906-1978), die 1941 veröffentlicht wurde. Die Publikation des in Havanna, Kuba, geborenen Professors listet 5.790 Übungen auf, was einem Durchschnitt von 19 Übungen pro Test entspricht.

Baldor veröffentlichte andere Werke wie „Flugzeug- und Raumgeometrie“, „Baldor-Trigonometrie“ und „Baldor-Arithmetik“, aber diejenige, die auf dem Gebiet dieses Zweigs den größten Einfluss hatte, war „Baldor-Algebra“.

Dieses Material wird jedoch eher für die mittlere Bildungsstufe (z. B. die Sekundarstufe) empfohlen, da es für höhere Stufen (Universität) kaum als Ergänzung zu anderen fortgeschritteneren Texten und entsprechend dieser Stufe dienen würde.

Das berühmte Cover, auf dem der persisch-muslimische Mathematiker, Astronom und Geograph Al-Khwarismi (780-846) erscheint, hat bei Studenten, die dieses berühmte mathematische Werkzeug verwendet haben, Verwirrung gestiftet, da angenommen wird, dass dieser Charakter sein Autor ist Baldor.

Der Inhalt der Arbeit ist in 39 Kapitel und einen Anhang unterteilt, der Berechnungstabellen, Tabellen mit Grundformen der Faktorzerlegung und Tabellen mit Wurzeln und Potenzen enthält. und am Ende des Textes sind die Antworten der Übungen.

Zu Beginn jedes Kapitels befindet sich eine Illustration, die einen historischen Überblick über das Konzept gibt, das im Folgenden entwickelt und erläutert wird, und prominente historische Persönlichkeiten auf diesem Gebiet entsprechend dem historischen Kontext erwähnt, in dem sich die Referenz des Konzepts befindet. Diese Charaktere reichen von Pythagoras, Archimedes, Platon, Diophanthus, Hypatia und Euklid bis hin zu René Descartes, Isaac Newton, Leonardo Euler, Blas Pascal, Pierre-Simon Laplace, Johann Carl Friedrich Gauß, Max Planck und Albert Einstein.

Was war der Ruhm dieses Buches?

Ihr Erfolg liegt in der Tatsache, dass es, zusätzlich zu einem berühmten literarischen Werk obligatorisch in weiterführenden Schulen Lateinamerikas, das Buch zu lesen und vollständig zu diesem Thema, enthält eine klare Erklärung über die Konzepte und ihre algebraischen Gleichungen, sowie historische Daten über die Aspekte bei der Verwaltung der algebraischen Sprache zu berücksichtigen.

Dieses Buch ist die Initiation par excellence für Studenten in die algebraische Welt, obwohl es für einige eine Quelle inspirierender Studien darstellt und für andere befürchtet wird, dass es sich in Wahrheit um eine obligatorische Bibliographie handelt ideal zum besseren Verständnis der behandelten Themen.

Was ist boolesche Algebra

Der englische Mathematiker George Boole (1815-1864) schuf eine Gruppe von Gesetzen und Regeln zur Durchführung algebraischer Operationen, bis er einem Teil davon seinen Namen gab. Daher gilt der englische Mathematiker und Logiker als einer der Vorläufer der Informatik.

In logischen und philosophischen Problemen ermöglichten die von Boole entwickelten Gesetze, sie in zwei Zustände zu vereinfachen, entweder den wahren Zustand oder den falschen Zustand, und diese Schlussfolgerungen wurden mit mathematischen Mitteln gezogen. Einige implementierte Steuerungssysteme, wie Schütze und Relais, verwenden offene und geschlossene Komponenten, wobei der offene Antrieb und der geschlossene nicht ansteuern. Dies ist in der booleschen Algebra als alles oder nichts bekannt.

Solche Zustände haben eine numerische Darstellung 1 und 0, wobei 1 das Wahre und 0 das Falsche darstellt, was ihre Untersuchung erleichtert. Nach all dem kann jede Komponente jeglicher Art oder nichts durch eine logische Variable dargestellt werden, was bedeutet, dass sie den Wert 1 oder 0 darstellen kann.

Die boolesche Algebra ermöglicht es, logische Schaltungen oder logisches Schalten innerhalb der digitalen Elektronik zu vereinfachen; Auch dadurch können logische Berechnungen und Operationen von Schaltungen auf expressivere Weise durchgeführt werden.

In der Booleschen Algebra gibt es drei grundlegende Verfahren: das logische Produkt, die UND-Gatter- oder Schnittpunktfunktion; die logische Addition ODER Gatter- oder Vereinigungsfunktion; und die logische Negation, NICHT Gatter- oder Komplementfunktion. Es gibt auch mehrere Hilfsfunktionen: negation des logischen Produkts, NAND-Gatter; Negation der logischen Addition, NOR-Gatter; exklusive logische Addition, XOR-Gatter; und Negation der exklusiven logischen Addition, XNOR-Gatter.

Innerhalb der Boole-Algebra gibt es eine Reihe von Gesetzen, darunter:

  • Annullierungsgesetz. Auch cancelative Law genannt, heißt es, dass in einigen Fällen nach einem Prozess der unabhängige Term annulliert wird, so dass (A. B)+A=A und (A+B).A = A.
  • Identitätsgesetz. Oder Identität der Elemente 0 und 1, besagt, dass eine Variable, zu der das Null-Element oder 0 hinzugefügt wird, gleich der gleichen Variablen A+0=A ist, so wie wenn die Variable mit 1 multipliziert wird, das Ergebnis dasselbe ist A. 1 = A.
  • Idempotentes Gesetz. Es besagt, dass eine bestimmte Aktion mehrmals ausgeführt werden kann und das gleiche Ergebnis erhält, wenn Sie also eine Konjunktion A+A=A und eine Disjunktion A. A=A.
  • Kommutatives Gesetz. Dies bezieht sich unabhängig von der Reihenfolge, in der sich die Variablen befinden, also A+B=B+A.
  • Gesetz der doppelten Negation. Oder Involution, besagt, dass, wenn eine Negation eine andere Negation gegeben ist, es zu einem positiven führen wird, so dass (A‘)’=A.
  • Morgans Theorem. Diese sagen, dass die Summe einiger negierter Variablen im Allgemeinen gleich dem Produkt jeder negierten Variablen unabhängig ist, dann (A+B) ‚=A‘.B ‚ y (AB)’= A ‚+B‘.
  • Verteilungsgesetz. Es besagt, dass, wenn einige Variablen zusammengefügt werden, die mit einer anderen externen Variablen multipliziert werden, dies dasselbe ist wie das Multiplizieren jeder Variablen, die mit der externen Variablen gruppiert ist, als: EIN (B + C) = AB + AC.
  • Absorptionsgesetz. Es besagt, dass, wenn eine Variable A eine Variable B impliziert, die Variable A A und B beinhaltet und A von B „absorbiert“ wird.
  • Assoziatives Gesetz. In der Disjunktion oder beim Verbinden mehrerer Variablen ist das Ergebnis unabhängig von ihrer Gruppierung dasselbe. so dass in der Addition A+(B + C)=(A+B)+C (das erste Element plus die Assoziation der letzten beiden ist gleich der Assoziation der ersten beiden plus der letzten).

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