bøjning af bjælker

5.2 ren bøjning af bjælker med symmetrisk tværsnit

det enkleste tilfælde af ren bøjning er det for en bjælke, der har en lodret symmetriakse, udsat for lige og modsatte slutpar (Fig. 5.1 a). Den semi-inverse metode anvendes nu til at analysere dette problem. Øjeblikket m å vist i Fig. 5.1 A er defineret som positiv, fordi den virker på et positivt (negativt) ansigt med sin vektor i den positive (negative) koordinatretning. Denne tegnkonvention er enig med stress (afsnit 1.5). Vi antager, at den normale stress over tværsnittet varierer lineært med y, og at de resterende spændingskomponenter er nul:

figur 5.1. (a) stråle med enkelt symmetrisk tværsnit i ren bøjning; (b) spændingsfordeling over tværsnittet af strålen.

her er k en konstant, og y = 0 indeholder den neutrale overflade—det vil sige overfladen, langs hvilken den neutrale overflade og tværsnittet skærer den neutrale akse (forkortet NA). Figur 5.1b viser det lineære spændingsfelt i et afsnit placeret en vilkårlig afstand A fra venstre ende.

Siden Eks. (5.1) Angiv, at sidefladerne er fri for stress, vi behøver kun at være sikre på, at spændingerne er i overensstemmelse med grænseforholdene i enderne. Disse ligevægtsbetingelser kræver, at resultatet af de indre kræfter er nul, og at momenterne for de indre kræfter omkring den neutrale akse er lig med det anvendte øjeblik

hvor A er tværsnitsarealet. Bemærk, at nulspændingskomponenterne er i EKV. (5.1) opfylder betingelserne for, at der ikke findes y – OG Å-styrede kræfter i endefladerne. På grund af sektionens y-symmetri producerer Ky ikke noget øjeblik om y-aksen. Det negative tegn i det andet udtryk indebærer, at et positivt øjeblik er et, der resulterer i kompressiv (negativ) stress ved punkter med positiv y. (5.1) til miljøkvalitetskrav. (5.2) udbytter

siden k-kr 0, EKV. (5.3 A) angiver, at det første øjeblik af tværsnitsareal omkring den neutrale akse er nul. Dette kræver, at tværsnitets neutrale og centroidale akser falder sammen. Forsømmelse af kropskræfter er det klart, at ligningerne af ligevægt (3.4) er opfyldt af EKV ‘ er. (5.1). Det kan også let verificeres, at EKV ‘ er. (5.1) sammen med Hookes lov opfylder kompatibilitetsbetingelserne, f.eks. (2.12). Således Eks. (5.1) repræsenterer en nøjagtig løsning.

integralet i Ek. (5.3 b) definerer inertimomentet for tværsnittet omkring stråletværsnittets å-akse (tillæg C); derfor

et udtryk for normal stress kan nu skrives ved at kombinere EKV ‘ er. (5.1)og (a):

dette er den velkendte elastiske bøjningsformel, der gælder for lige bjælker.

da M og i i et givet afsnit er konstante, opnås den maksimale stress fra EKV. (5.4) ved at tage |y|maks = c:

hvor S er det elastiske sektionsmodul. Ligning (5.5) er almindeligt anvendt i praksis på grund af sin enkelhed. For at lette dets anvendelse er sektionsmoduli til adskillige almindelige sektioner tabuleret i forskellige håndbøger. En fiktiv stress i ekstreme fibre, beregnet ud fra EKV. (5.5) for det eksperimentelt opnåede ultimative bøjningsmoment (Afsnit 12.7), betegnes modulet for brud på materialet i bøjning. Denne mængde er ofte brugt som et mål for bøjningsstyrken af materialer.

5.2.1 kinematiske forhold

for at få yderligere indsigt i stråleproblemet overvejer vi nu deformationsgeometrien—det vil sige strålekinematik. Grundlæggende for denne diskussion er hypotesen om, at sektioner oprindeligt plan forbliver så efter bøjning. For en stråle af symmetrisk tværsnit, Hookes lov og EKV. (5.4) føre til

hvor den er bøjningsstivhed.

lad os undersøge afbøjningen af stråleaksen, hvis aksiale deformation er nul. Figur 5.2 a viser et element af en oprindeligt lige stråle, nu i deformeret tilstand. Fordi strålen udsættes for ren bøjning, ensartet overalt, oplever hvert element af uendelig længde identisk deformation, med det resultat, at strålekrumningen overalt er den samme. Den afbøjede akse af strålen eller afbøjningskurven er således vist deformeret, med krumningsradius rks. Det er en af de mest almindelige årsager til, at en person er i stand til at

figur 5.2. (a) Segment af en bøjet stråle; (b) deformationsgeometri.

hvor den omtrentlige form er gyldig for små deformationer (du/dk1). Tegnkonventionen for krumning af stråleaksen er sådan, at dette tegn er positivt, når bjælken er bøjet konkav nedad, som vist på figuren.

som vist ved geometrien i Fig. 5.2 b, de skraverede sektorer er ens. Derfor er krumningsradiusen og stammen relateret som følger:

hvor ds er buelængden mn langs bjælkens længdeakse. For en lille forskydning repræsenterer DS ‘en DS’ en DS ‘EN og DS’ EN hældningen du/DS ‘ EN på stråleaksen. Klart, for den positive krumning vist i Fig. 5.2 a, øges kurven, når vi bevæger os fra venstre mod højre langs bjælkeaksen. På grundlag af ECS. (5.6) og (5.8),

efter en lignende procedure og bemærker, at vi også kan opnå krumningen i YS-planet som

den grundlæggende ligning for afbøjningskurven for en stråle opnås ved at kombinere EKV ‘ er. (5.7) og (5.9 a) som følger:

dette udtryk, der relaterer strålekrumning til bøjningsmomentet, er kendt som Bernoulli—Euler-loven om elementær bøjningsteori. Det observeres fra Fig. 5.2 og Ek. (5.10) at et positivt øjeblik frembringer en positiv krumning. Hvis tegnet konvention vedtaget i dette afsnit for enten øjeblik eller afbøjning (og krumning) vendes, plustegnet i Ek. (5.10) bør ligeledes vendes.

henvisning til Fig. 5.2 a afslører, at de øverste og nederste sideflader er blevet deformeret til sadelformede eller antiklastiske krumningsoverflader 1/rs. De lodrette sider er samtidig blevet roteret som følge af bøjning. Undersøgelse Af EKV. (5.9 b) foreslår en metode til bestemmelse af Poissons forhold . For et givet stråle-og bøjningsmoment fører en måling på 1/RS direkte til v. effekten af antiklastisk krumning er lille, når stråledybden er sammenlignelig med dens bredde.

5.2.2 Timoshenko Stråleteori

Timoshenko—teorien om bjælker, udviklet af S. P. Timoshenko i begyndelsen af det tyvende århundrede, udgør en forbedring i forhold til Euler-Bernoulli-teorien. I det statiske tilfælde er forskellen mellem de to hypoteser, at førstnævnte inkluderer effekten af forskydningsspændinger på deformationen ved at antage en konstant forskydning over bjælkehøjden, mens sidstnævnte ignorerer indflydelsen af tværgående forskydning på stråledeformation. Timoshenko-teorien siges også at være en udvidelse af den almindelige stråleteori, der muliggør effekten af den tværgående forskydningsdeformation, mens man slapper af antagelsen om, at plane sektioner forbliver plane og normale for den deformerede stråleakse.

Timoshenko-stråleteorien er velegnet til at beskrive opførslen af korte bjælker og kompositbjælker. I det dynamiske tilfælde inkorporerer teorien forskydningsdeformation såvel som roterende inerti-effekter, og det vil være mere nøjagtigt for ikke meget slanke bjælker. Ved effektivt at tage hensyn til deformationsmekanismen sænker Timosjenkos teori stivheden af strålen, idet resultatet er en større afbøjning under statisk belastning og lavere forudsagte grundlæggende vibrationsfrekvenser for et foreskrevet sæt grænseforhold.

Skriv et svar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret.